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imagine eles temos todos os números inteiros em uma espiral crescente destacando os números primos em azul e deixando os números compostos em preto uma questão interessante que devemos fazer é um dos números primos existem em comparação com os números compostos primeiro vamos olhar de um ponto bem distante para entender melhor observe que a cor dos números primos e densa no centro e vai clareando lentamente em direção às bordas mas não desaparece nunca gosta de pensar sobre isso da seguinte maneira imagine que há uma árvore bem no centro e é infinitamente alto as folhas que caem dessa árvore representa os números primos que estão espalhados no solo aleatoriamente densos próximos da base da árvore à medida que nos afastamos dela encontramos cada vez menos folhas mas não importa o quanto vendemos 100 dias encontraremos é exatamente isso que acontece quando olhamos para números inteiros cada vez maiores sempre encontramos mais números primos embora o número destes diminua gradualmente quando procuramos mais longe então voltemos a nossa questão quantos números primos existem menores que o inteiro x se fizermos uma tabela veremos que a quantidade de números primos sempre aumenta mas quanto mais longe procuramos encontramos cada vez menos vamos fazer um gráfico da quantidade de números primos encontrados no eixo vertical eo tamanho do espaço de busca x no eixo horizontal à medida que nos distanciamos para incluir milhões de números observe que a curva nunca acompanha o horizonte ela está sempre subindo ainda que lentamente primeiro vamos pensar a respeito da densidade dos números primos menores que algum inteiro x podemos encontrar a densidade dividindo a quantidade de números primos encontrados pelo tamanho da busca os primeiros em números inteiros encontramos 25 números primos portanto 25% são números primos dos primeiros 10 mil inteiros encontramos 1229 números primos 12.20 9% são primos do primeiro milhão de inteiros sete pontos 84 por cento são primos e os primeiros 100 milhões e inteiros contém cinco pontos 76 por cento de prêmios quanto mais procuramos mais a densidade cai embora a velocidade com que ela caia vai diminuindo aqui está um gráfico do tamanho da busca no eixo horizontal ea densidade dos números primos no eixo vertical note que à medida que nos distanciamos os números primos vão desaparecendo dos inteiros curiosamente encontramos essa fórmula natureza galáxias tempestades flores até mesmo nossos corpos com um padrão de resistência mínima conhecido como espiral logarítmica observe que à medida que a espiral gira fica cada vez mais e mais distantes do centro incrivelmente a taxa de rotação de um espiral logarítmica está relacionada com a densidade de números primos da seguinte forma temos um momento de rotações chamado de filho e à distância do centro chamado dr se fizermos um gráfico fi por r e fomos tirando o zoom veremos que estão relacionados de acordo com o logaritmo natural isso significa que o logaritmo natural da distância está relacionado com o número de rotações o gráfico do algarismo natural é comumente escrito usando os nomes da variável x e y sendo y igual logaritmo natural de she's not que o gráfico se a família da mesma maneira que a densidade dos números primos diminui o passo final é inverter isso alterando o eixo y para um dividido pelo logaritmo natural de x e quando nos distanciamos encontramos exatamente a mesma curva gerada quando desenhamos a densidade dos números primos vamos confirmar isso sobrepondo os gráficos a linha do inverso do logaritmo natural de che está em verde no gráfico e em vermelho está alinhada densidade dos números primos elas se aproximam a medida que tomamos distância quanto mais distante mas precisa se torna a estimativa em verde isso é conhecido como a lei assintótica da distribuição dos números primos temos agora uma fórmula que nos informa com precisão sem necessidade de contar qual a densidade de números primos a densidade de números primos menores que um número inteiro x é aproximadamente 1 despedido pelo algarismo natural de x ou lnx digamos que seja necessário saber a densidade dos números primos entre 1 e 10 trilhões simples dividido pelo logaritmo natural de 100 trilhões é igual a 3.1 por cento paris o resultado obtido contando todos os números primos que é 3.2 por cento a diferença é 0.1 por cento e à medida que verificamos números cada vez maiores a diferença se aproxima de zero perceba que podemos usar essa forma de densidade de números primos para estimar o número de prêmios até x número de primos é a área sobre a curva de densidade que podemos simplificar assumindo que a densidade é constante então o número de primos é igual ao tamanho vezes a densidade ou x dividido pelos lugares natural desses esse é o teorema do número primo neste gráfico e som é igual à x dividido pelo algarismo natural de x que está em azul e amarelo está a contagem real dos números primos note que com a distância as meninas tendem a se sobrepor conforme entendemos para o infinito e é isso é mais uma forma aproximada de quanto os números primos existem até determinado valor sem precisar contar por exemplo se precisarmos saber a quantidade de números primos menores que 100 trilhões 100 trilhões dividido pelo algarismo natural de 100 trilhões é igual a 3.1 trilhões compare com a contagem real que é 3.2 trilhões isso é mais que 99.99 por cento de precisão mesmo em um escala relativamente pequena recapitulando dado um espaço de busca do tamanho de um número inteiro x a densidade de números primos é algo próximo de um dividido pelo algarismo natural desse número de primos é algo próximo de x dividido pelo algarismo natural desses isso é o teorema do número prima