Módulo de congruência

Você pode ter visto uma expressão como esta:

Isso mostra que $A$‍ é congruente a $B$‍ módulo $C$‍.

Nós iremos discutir o significado de módulo de congruência através de um experimento imaginário com o módulo operador regular.

Vamos imaginar que estamos calculando mod 5 para todos os números inteiros:

Suponha que rotulamos 5 fatias 0, 1, 2, 3, 4. Depois, colocamos cada um dos números inteiros em uma fatia que corresponde ao valor do número inteiro mod 5.
Pense nessas fatias como lugares onde podemos por um conjunto de números. Por exemplo, 26 ficaria na fatia rotulada 1, porque $26\text{ mod }5=\mathbf{1}$‍.
Acima está uma figura que mostra alguns inteiros que poderíamos encontrar em cada uma das fatias.

Seria útil ter uma maneira de expressar que dois números pertencem a uma mesma fatia. (Note que 26 está na mesma fatia que 1, 6, 11, 16, 21 no exemplo acima).

Uma maneira comum de expressar que dois valores estão na mesma fatia é dizer que eles estão na mesma classe de equivalência.
A maneira como expressamos isso matematicamente para mod C é: $A\equiv B(\text{mod }C)$‍

A expressão acima é pronúnciada $A$‍ é congruente com $B$‍ módulo $C$‍.

Examinando a expressão mais detalhadamente:

Exemplo: $26\equiv 11(\text{mod }5)$‍

$26\text{ mod }5=1$‍ então, ele está na classe de equivalência para 1,
$11\text{ mod }5=1$‍ então, ele também está na classe de equivalência para 1.

Note que isso é diferente de $A\text{ mod }C$‍: $26\ne 11\text{ mod }5$‍.

Podemos compreender melhor o que significa "módulo de congruência" realizando o mesmo experimento com um inteiro positivo $C$‍.
Primeiro, rotulamos as fatias $C$‍ $0,1,2,\dots ,C-2,C-1$‍.
Então, colocamos cada um dos inteiros em uma fatia que corresponde ao valor do inteiro $\text{mod }C$‍.
Abaixo temos uma figura que mostra alguns valores representativos que podem ser encontrados em cada uma das fatias.

Se observarmos a fatia rotulada como 0, encontraremos:

Se observarmos a fatia rotulada como 1, encontraremos:

Se observarmos a fatia rotulada como 2, encontraremos:

Se observarmos a fatia rotulada como $C-1$‍, encontraremos:

A partir desse experimento, podemos fazer uma observação-chave:
Os valores em cada uma das fatias são iguais ao rótulo da fatia somando ou subtraindo um múltiplo de $\mathbf{C}$‍.
Isso significa que a diferença entre quaisquer dois valores em uma fatia é um múltiplo de $\mathbf{C}$‍.
Essa observação pode nos ajudar a entender as afirmações equivalentes e as classes de equivalência a seguir.