Adição e subtração modular

Sendo A = 14, B = 17, C = 5

Vamos verificar: (A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C
LE = lado esquerdo da equação
LD = lado direito da equação

LE = (A + B) mod C
  LE = (14 + 17) mod 5
  LE = 31 mod 5
  LE = 1

LD = (A mod C + B mod C) mod C
  LD = (14 mod 5 + 17 mod 5) mod 5
  LD = (4 + 2) mod 5
  LD = 1

Observe a figura abaixo. Se queremos calcular 12 + 9 mod 7, podemos facilmente utilizar o círculo modular para uma sequência de 12 + 9 passos para a direita (como mostrado no círculo inferior esquerdo).

Podemos pegar um atalho observando que em todos os 7 passos terminamos na mesma posição no círculo modular. Estas voltas completas em torno do modular do círculo não contribuem para a nossa posição final. Podemos ignorar essas voltas completas ao redor do círculo calculando cada número de mod 7 (como mostrado nos dois círculos modulares superiores). Isto nos dará o número de passos em sentido horário, em relação a 0, o que contribuem para cada uma das suas posições finais ao redor do círculo modular.

Agora, só temos de ir ao redor do círculo no sentido horário o total do número de etapas que contribui para cada posição final dos números (como mostrado no círculo modular inferior direito). Este método aplica-se, em geral, para quaisquer dois números inteiros e qualquer círculo modular.

Provaremos que (A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C
Temos que mostrar que LE = LD

A partir do teorema do resto-quociente podemos escrever A e B como:

A = C * Q1 + R1 onde 0 ≤ R1 < C e Q1 é um número inteiro. A mod C = R1
B = C * Q2 + R2 onde 0 ≤ R2 < C e Q2 é um número inteiro. B mod C = R2
  (A + B) = C * (Q1 + Q2) + R1+R2

LE = (A + B) mod C
LE = (C * (Q1 + Q2) + R1 + R2) mod C
podemos eliminar os múltiplos de C quando obtemos o mod C
LE = (R1 + R2) mod C

LD = (A mod C + B mod C) mod C
LD = (R1 + R2) mod C

Uma prova muito semelhante aplica-se para a subtração modular