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bob descobriu algo interessante enquanto fazia brincos coloridos de miçangas para sua loja ele sabe que seus clientes gostam de variedade então resolveu fazer todos os jeitos possíveis de combinação para cada tamanho de brinco começando com o tamanho de três miçangas ele começou a organizar todas as combinações possíveis de miçanga cada brinco começa com uma fileira de miçangas que são unidos pelas pontas até formar um pequeno conjunto então em primeiro lugar ele se pergunta quanto às fileiras diferentes é possível fazer-se temos duas cores e três miçangas há três opções para cada uma das cores e 22 vezes dois é igual a 8 que é o número de possíveis fileiras diferentes então bob retira as fileiras que só tem uma cor já que ele só quer fazer brincos coloridos então ele cola todas umas nas outras ele acha que vai fazer seis brinquedos diferentes desta forma mas uma coisa acontece ele não consegue mais diferenciar os brincos um dos outros acontece que é apenas dois modelos de brinco de cada modelo consiste em um par de miçangas idênticas note que há sempre uma correspondência entre os modelos de brinco quando mudamos sua posição fazendo rotações dessa forma o tamanho desse grupo deve ser baseada em quantas votações são necessárias para voltar ao modelo original ou quando há votações ele precisa para fechar um ciclo assim o conjunto inicial de todas as fileiras de miçangas pode ser dividido em dois tipos de modelos com 3 miçangas cada um será que acontece o mesmo para outros tamanhos de brincos seria ótimo para bob já que ele quer fazer sempre a mesma quantidade de cada modelo então ele testa as combinações de quatro miçangas primeiro ele constrói todas as fileiras possíveis com 4 miçanga na fileira pode escolher a mesma cor duas vezes para cada fileira então duas vezes 222 igual a 16 então ele remove novamente as fileiras de uma cor só e cola de miçangas uma nas outras formando um pequeno conjunto agora será que elas formaram grupos de tamanhos iguais aparentemente não mas o que aconteceu perceba que o conjunto inicial de fileiras pode ser dividido em diferentes modelos se a fileira do mesmo modelo podemos transformar uma fileira na outra apenas pegando miçanga de uma ponta e unido com a outra ponta em contra si só um modelo com apenas dois brincos e isso acontece porque ele é formado por uma parte repetida de um pequeno grupo formado por duas miçangas então são necessárias apenas duas rotações para completar o ciclo portanto este grupo contém apenas dois brincos bob não tem como dividir esses brincos de 4 miçangas em número igual de modelos e quanto aos brancos de 5 miçangas será que eles podem ser divididos em um número igual de modelos espere de repende bob percebeu que nem precisa construir todas as fileiras para descobrir isso deve funcionar porque com cinco nomes ainda não pode ser feito um padrão de repetição porque cinco não pode ser dividido em partes iguais é um número primo portanto não importa que tipo de combinação se faça na fileira ela sempre fará cinco votações para voltar a combinação original a duração do ciclo de cada seqüência deve ser 5 vamos verificar fazenda novamente as fileiras de todas as combinações possíveis vamos remover as duas fileiras de uma cor só separando as fileiras em grupos do mesmo modelo e construindo o único brinco para cada modelo observe que cada brincos e exatamente cinco vezes para completar o ciclo portanto se nós colocarmos todas as fileiras em pequenos conjuntos elas devem se dividir em grupos iguais e 5 miçangas cada mas bob vai ainda mais longe estamos usando apenas duas cores mas ele percebe que as mesmas coisas devem acontecer com qualquer quantidade de cores isso porque qualquer brinco colorido com o número primo de miçangas e deve ter um cumprimento de ciclo também p já que inúmeros prima não podem ser divididos em unidades de tamanho mas mas o número composto de miçangas é utilizado como 6 por exemplo sempre teremos determinadas seqüências mais curtas uma vez que poderemos pensar que esses números são formados por conjuntos menores que se repetem e consequentemente vão formar grupos menores também e assim meio que sem querer pode se deparou com o teorema de fermat que diz que dar um determinado número de cores que um determinado número primo p de comprimento de fileiras o número de modelos possíveis de fileiras é igual a rezar e do sapê vezes ou em outras palavras a elevada p e quando ele retirou as fileiras de uma cor só bob subtrai exatamente o número ar de fileiras uma para cada cor isso o deixa com marrey levado à p - as fileiras a e quando ele colocou estas fileiras agrupadas umas nas outras elas formaram grupos de tamanho p uma vez que cada brinco deve ter um cumprimento de pm sangas daí temos q p dividindo a elevado e - ah e é isso podemos expressar essa declaração e aritmética modular também pense nisso se você dividir a elevada e por ip você vai ficar com o resto de a assim podemos escrever isso como a elevada apê sendo congruente para a módulo p e assim aprendemos um dos mais fundamentais postulados da teoria dos números simplesmente brincando com miçangas