Introdução à fórmula de Black-Scholes

Falaremos agora sobre a, provavelmente, a fórmula mais famosa em finanças . A fórmula de Black-Scholes também conhecida como fórmula de Black-Scholes-Merton nomeada em razão destes senhores Este é Fischer Black Este é Myron Scholes Eles lançaram as fundações do que seria o modelo de Black-Scholes e a fórmula de Black-Scholes e por isso recebeu seus nomes Este é Bob Merton, que partiu do trabalho de Black-Scholes e levou a outro nível . obtendo nossas atuais interpretações do modelo e fórmula Black-Scholes . Esses três senhores ganhariam o Prêmio Nobel de Economia . Mas infelizmente Fischer Black morreu antes de recebê-lo . Mas Myron Scholes e Bob Merton receberam o Prêmio Nobel por seu trabalho . A razão para tanto destaque pare merecer o Prêmio Nobel na verdade, são várias razões Poderia ter uma série de vídeos sobre isso é que as pessoas vendem opções de ações vendem opções de ações por muito, muito tempo Negociam compram vendem É parte substancial do mercado financeiro atualmente Mas não existe maneira ideal de usar nossas mentes matemáticas para precificar uma opção . As pessoas tinham um senso do que é importante para elas e presumo que negociadores de opções tivessem essa mesma sensibilidade ao negociar opções . mas não havia um verdadeiro modelo analítico para isso e isso foi o que a fórmula de Black-Scholes nos deu Antes de mergulhar nessa fórmula aparentemente cabeluda espero que, quanto mais falarmos, mais amigável ela lhes pareça . . Começaremos obtendo sensibilidade sobre o que importa . quando pensamos em determinar o preço de uma opção Pensaríamos no preço da ação Pensaríamos no preço de exercício Pensaríamos especialmente no quanto maior ou menor seria a diferença entre preço de exercício e valor da ação Pensaríamos na taxa de juros a risco zero os juros a risco zero estão sempre ali quando pensamos no valor atual de algo . Quando convertemos para o valor presente Pensaríamos, claro, em quanto tempo teríamos para exercer a opção . Finalmente, pode parecer bizarro, mas explicarei em um segundo Pensaríamos em quão volátil é a ação e medimos volatilidade como desvio padrão da distribuição logarítmica dos retornos obtidos pelo título Parece extravagante e falaremos mais em vídeos futuros mas intuitivamente pense em duas ações digamos que essa seja a ação 1 E ela oscila E a faremos plana Nesse momento não julgaremos se é ou não um bom investimento . Você tem uma ação com esse comportamento E tem essa outra ação Desenharei ambas iguais Considere essa a ação 1 E temos a ação 2 fazendo isso Pulando para todo lado Temos a ação 2 em verde Podemos imaginar a ação 2 como mais "volátil" . Mais selvagem Assim, se observarmos a oscilação do retorno esperado Relativo à média Vemos que tem maior dispersão Tem um desvio padrão maior Então a ação 2 será mais volátil Ou um maior desvio padrão do logaritmo dos retornos Futuramente falaremos da importância dos retornos logarítmicos . A ação 1 será menos volátil Obviamente, opções são valoradas considerando a volatilidade .. Quanto mais volátil Com alto sigma como essa Elevaria o valor da opção Você preferiria ter uma opção nesse caso . Porquê com a ação você navegará por mares turbulentos . Mas com a opção você pode ignorar essa loucura e ela pode realmente ocorrer e você exerceria a opção se parecer que o momento é bom A sensação é, se negociamos uma ação Quanto mais volátil a ação, mais cara é a opção correspondente . Agora que mencionamos isso falemos sobre a fórmula de Black-Scholes A versão que tenho aqui é para a opção de compra européia . Poderíamos fazer algo similar para a opção de venda européia então essa é a opção de compra européia e lembre a opção de compra européia é mais simples que a opção estadunidense pois pode ser exercida apenas em uma data a data de exercício A opção de compra estadunidense pode ser exercida a qualquer tempo . Dito isso, vamos estudar intuitivamente a fórmula de Black-Scholes . Em primeiro lugar temos esse termo envolvendo o valor atual da ação e então multiplicamos por essa função que toma isso como valor de entrada . assim definimos essa entrada e subtraímos o valor de exercício convertido em valor presente . vezes a mesma função novamente E agora a entrada é ligeiramente diferente nessa função . Para ter uma pequena base do que é a função N . N é a função de distribuição cumulativa para uma distribuição normal . Sei que parece um pouco intimidador Mas podemos consultar uma tabela de dados estatísticos e ver que não é tão mal Basicamente, é dizer que para uma distribuição normal a probabilidade de que sua variável aleatória seja menor ou igual a X . E outra maneira de pensar . E está tudo explicado nos vídeos de estatística, se estiver confuso . Mas se pensar matematicamente, saberá . por ser probabilidade que o valor será sempre maior que zero e menor que um Explicado isso, vejamos o que essa peças nos dizem . Isso aqui é o preço atual da ação, ponderado por alguma probabilidade . que, analisando grosseiramente, é o que espera-se ganhar . Adquiriremos a ação e estamos estimando a chance de realmente adquirirmos essa ação . Estou descrevendo grosseiramente E esse termo é o que você paga O que você paga É o preço de exercício revertido a valores atuais ponderado, de certa maneira e repetindo estou costurando matematicamente que ações tomaremos . Exercerei essa opção? Aqui faz sentido Faz sentido se o preço da ação está muito acima do preço de exercício . E se definitivamente faremos digamos que D1 e D2 sejam números muito grandes é o que definitivamente faremos, em algum momento isso faz sentido se o valor da opção de compra é o valor da ação menos o preço de exercício em valor presente . Esse aqui é o desconto Que nos dá o valor presente do preço de exercício Temos vídeos sobre descontos e valor presente se achar isso complicado . também faz sentido quando quanto maior o preço da ação que vemos aqui relativo ao preço de exercício mais a opção vale também é coerente que quanto maior o preço da ação relativo ao preço de exercício . é mais provável que exerçamos a opção Vemos isso nestes dois termos Temos a fração do preço da ação e do preço de exercício a fração do preço da ação e do preço de exercício estamos usando o log natural dele mas quanto maior a razão, maior D1 ou D2 é significando uma entrada maior na função de distribuição acumulada . resultando em maiores probabilidades ou seja, maior a chance de exercermos a opção e faz sentido isso realmente terá algum valor e faz sentido a relação entre preço da ação e preço de exercício . Outra coisa a estar atento porque tende a ter profunda atenção de quem opera com opções . é a volatilidade já tivemos a intuição de que quanto maior a volatilidade, maior o preço da opção . . então vejamos esses fatores na equação Não vemos logo no primeiro nível mas como fatores em D1 e D2 Em D1, quanto maior o desvio padrão do logaritmo do retorno, maior o sigma . Temos um sigma no numerador e no denominador mas no numerador está ao quadrado Então um sigma maior implica em D1 maior . Vamos pensar sobre isso Aqui temos um sigma Continua ao quadrado. Está no numerador, mas estamos subtraindo ele . Isso cresce mais rápido que o outro mas estamos subtraindo então, quanto maior o sigma, menor o D2 Porque estamos subtraindo Isso na verdade faz Podemos dizer que fará um valor de sigma alto tornará o valor da opção de compra alto . Vejamos Se o valor de sigma aumenta então D1 sobe Essa entrada aumenta Se essa entrada aumenta Nossa função de distribuição acumulada baseada nela sobe . e esse termo fará todo esse termo subir o que acontece aqui se D2 cai, então nossa função de distribuição acumulada cairá . . Então tudo isso será menor E precisaremos pagar menos E se pagamos menos e falando em linhas gerais apenas para compreendermos que isso é intuitivamente impressionante . mas definitivamente nota-se se o desvio padrão do logaritmo de nossos retornos . se nossa volatilidade sobe o valor da opção de compre o valor da opção de compra europeia sobe pelo mesmo raciocínio se a volatilidade diminui o valor da opção de compra diminui Pararei aqui Nos próximos vídeos falaremos mais profundamente disso Legendado por Bruno HOL