Problema de séries geométricas finitas: hipoteca

RKA2G Neste vídeo, falaremos um pouco sobre empréstimo hipotecário. Suponha que você vai tomar emprestado um valor para comprar uma casa de 200 mil reais. 200 mil reais, eu quero dizer, é o valor que você vai tomar emprestado. Vai pagar durante 30 anos, o que significam 360 meses. E, nesses 30 anos, ao ano é cobrado 6% de juros. Juros ao ano. Fazendo umas contas, isso equivale a 0,5% de juros ao mês. Você conversa com o gerente do banco e ele fala que, fazendo nessas condições, você tem que pagar uma prestação de 1.200 reais por mês. A questão é a seguinte: o gerente do banco, ou atendente, tem lá um sistema, um software, que, colocando essas informações, te dá o valor a ser pago por mês. A questão é: como descobrir esse valor a ser pago por mês, tendo aquelas informações acima? Primeiro, vamos estudar um pouco como essa coisa toda se comporta. Veja só: se você hoje está devendo 200 mil reais, você, quando contrai um empréstimo, não paga nada. Vai pagar só um mês depois. Então, no mês seguinte, você vai ter que pagar os juros sobre 200 mil reais. 200 mil reais vai ser acrescido de 0,5%. Por isso multiplicar por 1,005 (0,5% é 1,005, divida 0,5 por 100 e você vai ter isso e acrescente 1 porque você está fazendo um aumento). Esse vai ser o seu novo saldo devedor, mas, no primeiro mês, você vai lá e paga 1.200 reais. O seu novo saldo devedor é este. O que vai acontecer é que, para o próximo mês, o que você ainda não pagou, que é o que está entre parênteses, vai ser acrescido de 0,5% (multiplicado por 1,005). E aí você vai e paga 1.200 reais. Então, seu novo saldo devedor é tudo isto que está aqui. Para o próximo mês, isto vai sofrer um acréscimo de 0,5% (1,005) e vai fazer com que o seu saldo devedor cresça. Você paga 1.200 reais e assim por diante, todos os meses, durante 360 meses. Fazendo essa conta toda, no final de 360 meses, o resultado tem que dar zero, porque você liquidou toda a sua dívida . Entretanto, escrever essa expressão ia ficar algo gigantesco, com centenas de parênteses. Como nós vamos trabalhar com isto sem escrever tudo isso? Vamos olhar de maneira um pouquinho mais abstrata e vamos considerar, inicialmente, o valor que você paga todo mês, indicado pela letra "P". O 1.200 que você paga todo mês é indicado pela letra "P". Vamos considerar aqui "L" como sendo o montante emprestado. O montante que você emprestou do banco. Naquele exemplo, os 200 mil reais. Vamos considerar que "i" é a taxa de juros mensal. Taxa mensal de juros. Vamos considerar que "n" é o número de meses do financiamento e "P" indica o pagamento mensal, quanto você vai pagar mês a mês. Pagamento mensal. Vamos reescrever esta expressão usando estas letras, de maneira um pouquinho mais abstrata. Logo no começo, você está devendo um valor "L". Esse valor "L" vai ser acrescido da taxa de juros, ou de acordo com a taxa de juros mensal. Então, vai ser multiplicado por "1 + i" ("i", neste caso do exemplo, é 0,5%). "1 + i" = 1,005, que é o que você vê aqui. Depois da correção, você paga um valor "P". O que sobra é o seu novo saldo devedor, que vai ser multiplicado de novo por "1 + i". Depois da correção do mês, você paga um valor "P", você diminui em "P" o seu saldo devedor. E assim você vai fazendo durante "n" meses, então, aqui você teria "n" parênteses. Depois de passados os "n" parênteses, isto tem que ser igual a zero, porque você liquidou a sua dívida. Seu saldo devedor é zero. A questão neste vídeo é: como resolver isso para "P" supondo que o "L", o "i" e o "n" sejam conhecidos? Vamos analisar esta situação, inicialmente, considerando que o "n" seja igual a 1. Se o "n" for igual a 1, logo no começo, você tem uma dívida "L", que vai ser, ao final do mês, multiplicada por "1 + i" para ter o acréscimo dos juros. Você vai efetuar o pagamento "P" e, como só tem um mês, o resultado disso é o seu novo saldo devedor, que é zero. Fácil aqui isolar a letra "P", adicionando "P" aos dois lados. Ficamos com P = L (1 + i), resolvemos para "P". Há algo interessante: eu posso dividir os dois lados por "1 + i". Eu teria, então, P sobre "1 + i" = L. Vai existir um padrão importante aqui também a respeito disso. Isso se for um mês. Vamos supor que o "n" seja igual a 2. Com n = 2, nós vamos ter, então: você tem a dívida inicial. Ela vai ser multiplicada por "1 + i" no primeiro mês para o acréscimo dos juros, você faz o primeiro pagamento. Depois, este é o novo saldo devedor, vai ser multiplicado por um "1 + i" para o cálculo dos juros no segundo mês e você vai efetuar o segundo pagamento e o resultado disso é o novo saldo devedor zero, porque são apenas dois meses, dois pagamentos. Vou destacar aqui este "P" de outra cor, o primeiro pagamento de outra cor. Eu vou isolar primeiro o "P" verde, que está mais fácil. Eu teria, então: "P" igual... Fazendo a troca aqui adequadamente, P = L (1 + i), menos o "P" cor de rosa (é o mesmo "P", só quero mostrar o que está acontecendo em detalhes), multiplicado por "1 + i". Vou dividir os dois lados por "1 + i" e vou ter: "P" sobre "1 + i", que eu estou dividindo aqui, igual a "L" que multiplica "1 + i", menos o "P" cor de rosa aqui. Estes parênteses já não são mais necessários e aqui é fácil perceber que eu posso, este -P fazer +P do outro lado da igualdade. Então, eu vou ter o "P" cor de rosa, mais o "P" sobre "1 + i", igual a este outro termo: L (1 + i). Vamos dividir os dois lados novamente por "1 + i" e, então, eu vou ter o "P" cor de rosa divido por "1 + i", mais... O "P" verde já estava dividido por "1 + i". Ao dividir novamente por "1 + i", eu vou multiplicar, na verdade, o denominador. Vai ficar (1 + i)². Tudo isso igual a "L", que era o montante inicial que você pegou emprestado. Já dá para perceber um certo padrão. Quando eu tenho apenas um mês, o pagamento é dividido por "1 + i'. Quando eu tenho dois, meses eu tenho o pagamento dividido por "1 + i", mais o pagamento dividido por "1 + i" elevado a 2, que é exatamente o número de meses. Isso é igual ao montante, e assim por diante. De fato, se eu escrever aqui para "n" igual a 3, nós teríamos: "P" sobre "1 + i", mais "P" sobre (1 + i)², mais "P" sobre (1 + i)³, isso tudo igual ao montante inicial que você pegou emprestado: "L". Eu sugiro que você pause o vídeo e demonstre isso sozinho, claro, partindo das mesmas ideias que nós fizemos anteriormente. Esta ideia que nós obtivemos aqui, generalizada para um "n" qualquer, vamos fazê-lo. Basta olhar com um pouquinho de cuidado e nós teremos aqui: "L" é igual a "P" sobre "1 + i", mais "P" sobre (1 + i)², mais "P" sobre (1 + i)³ e assim por diante, até "P" sobre (1 + i) elevado ao número de meses "n". Eu vou colocar o "P" em evidência. Nós vamos ter, então: L = P (1 sobre 1 + i, mais 1 sobre (1 + i)², mais 1 sobre (1 + i)³, mais até 1 sobre (1 + i)ⁿ), de maneira geral. Analisando o que está entre parênteses, nós temos uma série geométrica. Temos a soma dos termos de uma série geométrica finita. E nós podemos escrever a soma dos termos da série geométrica na forma de uma somatória. Neste caso aqui, somatória com o "j" indo de 1 até "n" e os termos são todos 1 sobre (1 + i) elevados a "j" ("j" representa o expoente. Vai de 1, 2, 3, até o "n"). Temos "n" termos nesta soma. Nesta série geométrica, a razão, que é indicada pela letra "q", zé 1 sobre (1 + i). E, para organizar um pouco a escrita, vamos considerar que a soma entre parênteses vai ser indicada por "S". Esta somatória, então, é igual a "S". De maneira que "S" é igual à razão "q", que é o primeiro termo, mais a razão "q" elevada ao quadrado, que é o segundo termo, mais "q" elevado ao cubo e assim por diante, até chegar a "q" elevado à enésima potência, que é o último termo neste caso. Eu poderia, então, usar a fórmula da soma dos termos de uma série geométrica ou progressão geométrica finita. Mas vamos supor que eu esqueci a fórmula. Eu posso usar a matemática para deduzi-la novamente. Eu vou escrever de novo a expressão aqui abaixo, multiplicando todos os termos pela razão, que é "q". Vai ficar: "q" vezes "S" igual... O "q" vezes "q" vai ficar q². Mais: q² vezes "q" vai ficar q³. q³ vezes "q" vai ficar q⁴ e assim vai. O "q" elevado a n-1, que está antes aqui, vai ficar qⁿ e o último, que é qⁿ, vai ficar, multiplicando por "q", qⁿ⁺¹. Eu vou fazer, então, a expressão de cima menos a expressão de baixo. Vou ficar com: S - qS = A de cima menos a de baixo, vamos lá, termo a termo. O "q" desta não tem termo semelhante, então, vai ficar "q". Agora, q² - q², cancela. q³ - q³, zero. Aqui aparece o q⁴, cancela aqui. E assim vai. qⁿ cancela com este. Este aqui, não. Como estou subtraindo, vou ter aqui -qⁿ⁺¹. Eu vou agora colocar o "S" em evidência. Ficaria "S" vezes (1 - q), colocando "S" em evidência aqui, igual a q - qⁿ⁺¹. Dividindo os dois lados por 1 - q, aqui vai ficar somente "S" igual a: q - qⁿ⁺¹, tudo isso sobre 1 - q. Esta é a fórmula que me dá aquela soma que está entre parênteses. Nós podemos voltar para a fórmula anterior e tudo isto que está entre parênteses pode ser substituído por esta fórmula mais simples. Vamos fazê-lo. Eu vou reescrever aqui toda esta fórmula usando L = P vezes... Entre parênteses, eu vou escrever justamente o que temos aqui q - qⁿ⁺¹, tudo isso sobre 1 - q. Então, agora, se eu quero resolver isto para "P", isolar "P", significa simplesmente multiplicar os dois lados pelo inverso disto que está entre parênteses, de maneira que ficaria com P = L, multiplicado pelo inverso disto, que seria: abre parênteses, 1 - q, sobre q - qⁿ⁺¹, fecha parênteses. Lembrando que "q" é 1 sobre "1 + i". E pronto! Consegui determinar o valor do pagamento a partir dos outros dados do financiamento. Vamos aplicar essa ideia no exemplo anterior. No exemplo anterior, nós tínhamos o L como 200 mil reais, o "i", a taxa de juros mensal, 0,5% ao mês, que seria o número decimal 0,005 e tínhamos o "n" igual a 360, que era o número de meses. Primeiramente, vamos determinar o que é "q", que eu vou precisar usar na fórmula. "q" vai ser igual a: 1 sobre "1 + i", que é, então, 1 sobre 1 + 0,005. Usando uma calculadora: 1 sobre (1 + 0,005), nós vamos ter 0,995. O "q" é 0,995. Então, o pagamento mensal vai ser igual... Vamos lá, usando esta fórmula que nós obtivemos. Vai ser igual ao L, que é 200 mil, multiplicando, entre parênteses, 1 menos "q", que é 0,995, dividido por 0,995, menos 0,995ⁿ⁺¹. O "n" é 360, então, aqui é 361. Coloquei, na sequência aqui, a fórmula já com os números substituídos. Quando eu apertar "igual", o resultado é 1.202 reais e 98 centavos. Um pouquinho a mais daquela ideia inicial de 1.200 reais, mas bem próximo a ele. Era só uma ideia. Aqui está uma aplicação da fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica finita, ou seja, uma série geométrica finita, na matemática financeira. Espero que você tenha estudado bastante aqui. Até o próximo vídeo!