Introdução aos juros compostos

RKA10GM - O que quero fazer neste vídeo é falar sobre juros compostos. E vamos pensar um pouquinho sobre quanto o valor de alguma coisa cresce de maneira aproximada e fazer os cálculos bem rápido. E vamos ver quão boa é a nossa aproximação. Apenas para pegar um exemplo, digamos que eu coordeno um banco, e esse banco oferece 10% de juros que incidem anualmente. 10% de juros que incidem anualmente. Isso não é o que acontece nos bancos. Talvez isso incidisse de forma contínua, claro. Mas não é esse objetivo do vídeo. Quero manter isso simples, então vou colocar que os juros incidem com 10% anualmente. Se você quiser ver outros exemplos, há outros vídeos que falam de juros compostos que incidem de forma contínua, mas aqui a gente quer manter a matemática simples. Portanto, imagine que hoje, no banco, você deposite 100 reais. E acontece que depois de um ano, você vai continuar tendo os seus 100 reais, só que vai ter mais 10% disso, ou seja, 10 reais. Isso significa que depois de um ano você vai ter 110 reais, nestas condições. E agora, se passar mais um ano, ou seja, no segundo ano, dois anos se passaram, você vai ter mais 10%, só que não em cima dos 100 reais que tinha antes, mas sim dos 110 que tem agora. Então, você vai ter 110 + 11, que é 10% de 110. Aqui você vai ter 121 reais. É claro que eu poderia continuar fazendo isso de forma indefinida, mas há uma maneira de definir uma fórmula geral para isso. E para isso, vamos usar um pouquinho de álgebra. Digamos que tenho meu depósito inicial, que fiz aqui no início do ano. E quando se passa um ano, o que tenho que fazer aqui? Tenho que multiplicar por 1,1. 1,1 vai representar 10%. Mas não vou fazer de forma tão abstrata, vou fazer aproveitando esse nosso exemplo. Nesse caso, os 110 foram obtidos de que maneira? Os 100 reais iniciais que coloquei no banco multiplicados por 100% do que eu tinha, que são 100 reais, mais 10% ou 1,1. Fazendo essa multiplicação, obtenho 110 reais. Já este número, 121, como eu obtive? Peguei este valor, ou seja, 100 vezes 1,1 e multipliquei por 1,1 de novo. Então, vai ser assim, que vai me dar 121. Nesse caso aqui, o 1,1 da conta que estamos fazendo é a mesma coisa que 100%, que significa 1 mais 10%, que significa aquele 1 decimal. Então, aqui temos a representação em forma de porcentagem do 1,1. E chego à seguinte conclusão: depois de três anos, vou ter o quê? Vou ter 100, que era a quantia inicial que eu tinha ali, multiplicado por (1,1)³. Repare que o primeiro ano está elevado a 1, o segundo ano está elevado ao quadrado e o terceiro ano está elevado a 3. Depois de "n" anos, vou ter 100, que é a minha quantia inicial, multiplicado por (1,1)ⁿ . E você percebe que quando se tem esse tipo de conta, vai ficando cada vez mais complicado de calcular conforme esse "n" vai crescendo. Agora é o seguinte: isso é porque a gente está lidando com 10%, que é um valor fácil de calcular. Mas imagine que o que a gente está calculando agora, em vez de 10%, seja de 7%. Iria acontecer o seguinte: se fosse 7% depois de um ano, teríamos 100 vezes (1,07)¹. E depois de três anos, seguindo essa mesma lógica... a gente teria 100 vezes (1,07)³, sendo 07 equivalente a 7%. Portanto, como você pode perceber, calcular juros compostos não é uma tarefa muito simples, os cálculos não são os mais fáceis de serem feitos assim de cabeça ou na mão. Agora, digamos que eu faça outra pergunta aqui: quero saber quanto tempo você vai levar para dobrar esse valor, esses 100 reais. Então, quanto tempo leva para dobrar o dinheiro? Para resolver isso, a gente teria que fazer da seguinte maneira: teria que fazer 100 vezes 1,1 elevado ao tempo, que vou determinar como sendo "x", pois quero calcular quantos anos. Isso vai ter que ser igual a 200 reais, porque eu quero que dobre o valor de 100 reais, então, vai ser igual ao valor de 200. E agora tenho que resolver esta equação para encontrar o valor do "x". A gente vai ter (1,1)ˣ = 2. Eu só dividi por 100 em ambos os lados, e para encontrar o valor de "x" aqui, vou precisar calcular o logaritmo na base 1,1 de 2. E aí complica, não dá para fazer de cabeça, a gente vai deixar por aqui essa resposta. Uma maneira mais simples de calcular isso aqui talvez seria continuar efetuando estes cálculos até chegar em um valor próximo de 200, e vamos ter mais ou menos a noção de quanto tempo vai demorar. Tudo isso porque estou lidando apenas com 10%, imagine se eu estivesse lidando com 9,3%, por exemplo. Vai ficando cada vez mais complicado. E o que quero fazer no próximo vídeo é explicar a regra do 72, que vai te dar uma aproximação melhor de como efetuar este cálculo, ou seja, quanto tempo leva para você dobrar o seu dinheiro. Até o próximo vídeo!