Juros (parte 2)

RKAMP - Bom, pessoal, vamos pegar o que nós aprendemos na vídeo-aula passada e generalizar um pouquinho mais. Então, primeiro, vamos dizer que estou tomando emprestado "P" reais. Então, isso aqui vai ser o meu principal, meu principal é isso aqui, P reais. E vamos dizer que, para eu pegar esse principal emprestado, eu preciso de uma taxa de juros, uma taxa de juros que vou chamar de "j", isso aqui vão ser os meus juros. A minha taxa de juros que também pode estar expressa da seguinte maneira: 100j%. E eu tenho também uma quantidade de tempo, então vamos botar "t" para tempo e o tempo vai estar em anos, "t" anos foi o tempo que eu fiquei com dinheiro emprestado. E então, o que eu quero fazer é ver o que acontece, de forma geral, quando eu pego P reais emprestados com juros "j" e demoro "t" anos para pagar. Então, vamos fazer primeiro pelo juros simples. Bom, por que os simples? Porque eles são mais simples de se calcular. Então, vamos dizer que eu tenho aqui o tempo zero. Então, "t", tempo zero. E isso, na verdade, é quando eu peguei o dinheiro emprestado, ou seja, nesse momento estou devendo P reais, porque eu peguei emprestado P reais. Bom, então se passa 1 ano. Quando se passa 1 ano, a minha dívida agora é de P reais mais a taxa de juros "jP" reais. Quando nós fizemos no último exemplo, nós fizemos com R$10,00. Na verdade, a taxa de juros era 10%, então isso aqui representa a taxa de juros vezes o principal. E isso aqui também pode ser escrito da seguinte maneira: P(1 + j). E cada incremento que eu tiver, eu vou ter um incremento de "jP". Por quê? Porque é juros simples. Lembra da última vez a gente fez isso com R$10,00, agora a gente vai fazer com "jP", que é os juros vezes o principal. E então, no ano 2, eu estaria devendo P reais mais "jP", isso aqui é tudo do ano 1 ainda, mais "jP" de novo, esse é o juros do segundo ano. Então, isso pode ser escrito como? Pode ser escrito como P(1 + 2j). P vezes (1+2j). Agora, repara o que está acontecendo aqui. A cada ano eu vou adicionar "jP" e então no terceiro ano eu terei P mais "jP", mais "jP" de novo, isso aqui é ainda do segundo ano e agora entra o juros do terceiro ano, que é "jP" de novo. Cada ano eu acrescento "jP". E isso tudo pode ser reescrito como? P(1 + 3j). Então, 3j. Repare o seguinte, o que vai acontecer lá no ano "t"? Então, vamos dizer aqui que eu tenho um ano "t", então isso vai se repetir "t" vezes e eu terei P(1 + tj) que é o número de anos. Aqui 1 ano ficou o "1j", 2 anos "2j", 3 anos "3j", então "t" anos "tj", lembrando que "j" está em porcentagem. Eu recomendo a você não ficar decorando fórmulas é melhor você trabalhar dessa maneira aqui mesmo. Então, vamos dizer que eu tenha pegado R$50,00, R$50,00 emprestados a um juros de 15%, 15% durante 20 anos. Então, 20 anos. Então, eu quero calcular qual é o valor que eu tenho que pagar depois desses 20 anos. Então, bom, isso aqui será 50 vezes 1 mais... aí, aqui, eu tenho 20 vezes 0,15, então 20 vezes 0,15. Isso aqui vai dar quanto? Isso aqui vai dar 50 vezes 1, mais 20 vezes 0,15, isso dá 3. E isso aqui é a mesma coisa que 50 vezes 4, que dá 200. Logo, se eu pegar R$50,00 a 15% de juros ao ano, depois de 20 anos, eu terei que pagar R$200,00. Então, esse aqui é o valor que nós teremos que pagar e essa aqui é a nossa fórmula para os juros simples. Então, agora, deixe-me apagar isso aqui e vamos fazer conjuntos compostos. Então, deixa eu apagar isso aqui, vamos fazer agora, aqui, com juros compostos. Então, depois do primeiro ano, eu terei P + j·P e esse é o valor que e terei que pagar. E isso aqui é a mesma coisa que a gente fez da outra vez. Agora, meu novo principal será o quê? P + j · P e isso será igual a P(1 + j), então P(1 + j). E agora vou ter uma grande mudança do primeiro ano para o segundo ano. No primeiro ano, é até o mesmo valor, P(1 + j), mas, no segundo ano, eu continuarei mantendo essa taxa, a taxa de 1 + j. Por quê? Porque, do meu principal inicial para o meu primeiro ano, eu multipliquei isso aqui por 1 + j e eu vou manter essa taxa. E por que vai mudar? Porque agora não vou calcular em cima do meu principal inicial, eu vou calcular em cima do meu novo principal que é esse aqui. Meu novo principal é esse, então vou utilizar isso aqui, que é o meu novo principal P(1 + j), e vou multiplicar isso aqui pela minha taxa de juros, então vezes (1 +j). Então, o que eu estou fazendo é multiplicar isso aqui por 1 + j. Isso aqui vai dar o quê? Isso daqui vai dar P(1 + j)². Nos juros simples, nós somamos mais "jP" que é igual a 50 vezes 15%, que dá mais ou menos 7,50. Então, isso é o que a gente faz para cada ano, a gente soma 7,50 por ano. Aqui não, a gente pega o valor do ano anterior e multiplica por 1 mais a taxa de juros. E, então, no terceiro ano eu terei P(1 + j)³. Bom, e já é fácil você ver o que vai acontecer no ano número "t". E que vai acontecer aqui? Eu terei P(1 + j) elevado a "t". Quando o ano é 1, (1 + j) elevado a 1, quando o ano é 2, (1 + j) elevado a 2, quando o ano é 3, (1+j) elevado a 3 e assim por diante. Então, quando o ano é "t", P(1 + j) elevado a "t". Isso faz muito sentido já que a cada ano você pega o valor anterior e multiplica por (1 + j), ou seja, 1 mais a taxa de juros. E agora vamos fazer a mesma coisa que nós fizemos aqui nesse exemplo. Nós começamos com R$50,00 chegamos a R$200,00 e, portanto, eu vou ficar com isso aqui: R$50,00 vezes 1 mais a taxa de juros, que é 0,15, isso está elevado a 20 porque são 20 anos. Então, isso vai dar 50 · (1,15) isso está elevado a 20. Então, vamos ver quanto é que isso aqui vai dar. Para resolvermos isso, vamos utilizar uma planilha. Então, deixa eu pegar a minha planilha aqui. Bom, então vou digitar aqui =1,15 1,15, e isso aqui está elevado a 20. E vamos ver quanto é que dá. Dá mais ou menos 16,37, vamos dizer assim. Então, isso aqui vai ser igual, isso aqui vai ser igual a 50 vezes (16,37). E, agora, vamos fazer essa conta aqui, então vamos pegar a planilha novamente e isso aqui vai ser igual, igual a 50 vezes, 50 vezes isso aqui. Então, vou ter o resultado R$818,32. Então, vamos colocar aqui oitocentos e dezoito reais, R$818,00. E, por fim, você pode ver como é impressionante a gente começar com os mesmos 50 reais e, fazendo com juros simples, ter 200 reais e, com juros compostos, ter 618 reais a mais do que os juros simples. Então, aqui foi quando nós fizemos com juros simples e aqui quando nós fizemos com juros compostos. E, para a nossa tristeza, no mundo real, quando nós pegamos um empréstimo, na verdade, nós temos a utilização só dos juros compostos, nunca de juros simples. E, pior do que isso, os juros nem são compostos ao ano ou a cada seis meses, eles são compostos todo o tempo, são compostos continuamente. E, se você quiser aprender um pouco mais sobre isso, você verá, nos próximos vídeos, a mágica da exponencial. De qualquer forma, espero que tenham gostado e vejo você no próximo vídeo.