Demonstração opcional de cálculo para mostrar que a RMg tem o dobro da inclinação da demanda

RKA20 - Esse vídeo aqui opcional, você não precisa compreendê-lo pra continuar a nossa playlist. Ok? Ele está aqui pra todo mundo que é curioso e tem aquele conhecimento básico de cálculo. Vamos provar aqui que a inclinação da curva de renda marginal pro monopolista é o dobro da inclinação da curva de demanda, isso claro, quando a curva de demanda é uma reta. Então vamos ver, aqui nós temos, aqui o eixo do preço, o eixo da quantidade, e aqui é a curva de demanda, ou a curva de procura. E eu vou mostrar pra vocês que a inclinação da curva de renda marginal é o dobro da inclinação, ou seja, o coeficiente angular aqui é o dobro do coeficiente angular da procura, é duas vezes mais negativa. Negativa porque é uma reta decrescente, então vamos fazer aqui uma função que deixa o preço em função da quantidade. Sabendo que aqui nós temos uma reta, nós podemos descobrir essa função usando a equação reduzida da reta, aquela que usa o coeficiente angular, o coeficiente linear, lembra? Se isso aqui fosse uma aula de álgebra, né? Aqui seria y, aqui seria x, nós poderíamos escrever que a equação reduzida seria isso aqui ó, y é igual a mx + b, onde m é o coeficiente angular, e b o coeficiente linear, né? A inclinação, e onde eu intercepto o eixo y. Bom, nós temos a mesma coisa aqui, só que ao invés de x e y, nós temos Q e P. Então ficaria algo parecido com: o P é o m que multiplica o valor no eixo Q somado com o b, só que nesse caso o b é onde se intercepta aqui o eixo P. Portanto esse aqui né, é o nosso ponto b. E se eu pegar aqui a minha variação em P, né. Delta P. e dividir pela minha variação no eixo Q. Que é o meu delta Q. Eu vou ter com o resultado o meu m, meu coeficiente angular. Portanto posso dizer aqui, que Delta P dividido por Delta Q, é a minha inclinação, meu coeficiente angular. E aí, e como nós poderíamos descrever nossa renda total? É meio que a gente estava fazendo nos vídeos anteriores. Mas vamos rever aqui, vamos fazer aqui um outro eixo pra que nós façamos aqui, a nossa renda total em função da quantidade. Mas a renda total não é tão difícil assim, a renda total é somente fazer o preço vezes a quantidade, pra ficar mais fácil né, tirarmos uma variável do caminho. A gente pode escrever o preço em função da quantidade também, inclusive nós já fizemos isso bem aqui. Portanto basta pegar essa função e substituirmos no P aqui. Então, vou escrever em azul, né? Temos mQ mais b e eu vou multiplicar isso por Q novamente. Por isso nós teremos que nossa renda total vai ser MQ quadrado mais b vezes Q, devido à distributiva que fizemos aqui. Já podemos dizer aqui que isso aqui é uma parábola, afinal uma função de segundo grau, e digo mais, uma parábola de concavidade para baixo, afinal o m é negativo. E por que é que podemos afirmar que o m negativo, o m veio de uma reta, uma reta decrescente, retas decrescentes têm coeficiente angular negativo, esse m é negativo. E m é nosso acompanhante da variável de segundo grau, aqui nós teremos uma parábola de concavidade para baixo, mais ou menos assim, aqui é a nossa renda total. Já a renda marginal, a renda marginal é simplesmente a derivada, e é aqui que entra o cálculo na história, afinal lembra que a renda marginal era a inclinação da reta tangente em qualquer ponto dado. E esse aí é justamente a definição da derivada. Se eu tenho aqui um ponto né? E eu pegar a derivada quando eu te dou a quantidade, o retorno dessa função vai ser justamente a inclinação da tangente naquele ponto. Então vamos pegar aqui a derivada dessa função em relação à variável Q. Acompanha aqui comigo: dRT em relação a d Q, ou seja, quanto que vai ser a mudança em RT se eu fizer uma mudança muitíssimo pequena na quantidade né? Uma mudança infinitesimal, quase nada, um titiquinho de nada, e saber disso é o poder que o cálculo nos dá. Saber o que acontece quando fizemos aí mudanças infinitesimais. Então, bora pra derivada. Isso aqui vai ser igual ao Q, Q quadrado, a derivada de Q quadrado em relação à Q, é 2 Q. Que se eu multiplicar pela constante m,vai me dar no final 2mQ, 2Q vezes m 2mQ. Nessa parte aqui nós temos bQ, b é uma constante né, que a gente assume que é um dado aqui da nossa reta, e quando eu faço bQ derivado em relação a Q, o resultado é justamente o b, mais b. Portanto o que nós temos aqui é a nossa curva de receita marginal, melhor dizendo, ao invés de curva, nossa reta de receita marginal, que é 2mQ + b. Então repara só que legal, ela tem aqui um mesmo ponto de intersecção do nosso eixo y, veja b e b, então com certeza vai começar aqui. Mas o coeficiente angular, o coeficiente angular é o dobro, nós temos o coeficiente angular aqui igual a m, e o coeficiente angular aqui é 2m, o que significa que é o dobro da inclinação. Esse é algo decrescente, então aqui vai ter que crescer duas vezes mais rápido, é como se fosse duas vezes mais negativo. Podemos dizer que vai ser uma curva mais ou menos aqui. Então veja, sempre que a sua curva de demanda, curva de procura, for uma reta, a renda marginal vai ser uma reta duas vezes mais inclinada, né?Temos aqui receita marginal com o dobro do coeficiente angular, o dobro da inclinação. Muito bem! Entendeu porque? Se você entendeu porque a renda marginal tem o dobro da inclinação, ótimo, muito bem. Agora se você não entendeu, também fique tranquilo, porque pra continuar nessa lista de economia não é preciso ter nenhum conhecimento de cálculo, ok? Até o próximo então, tchau tchau!