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Curso: 1ª série matemática São Paulo > Unidade 2

Lição 5: Aula 16 - Resolução de problemas com o significado de ângulos internos e externos de polígonos regulares - Parte 3
Matemática
1ª série matemática São Paulo
2º bimestre
Aula 16 - Resolução de problemas com o significado de ângulos internos e externos de polígonos regulares - Parte 3
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Soma de ângulos internos de um polígono regular

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Aprenda a somar ângulos internos de polígonos regualres.

Soma dos ângulos internos de um polígono

∙ Soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer

Vamos considerar um triângulo ABC com seus ângulos internos medindo a, b e c respectivamente.
Traçando por A uma reta r paralela ao segmento de reta BC― e indicando por x e y os ângulos formados por r e os lados AB― e AC― podemos observar que a, x e y formam um ângulo de 180º.
Como ângulos alternos internos formados por retas paralelas são congruentes, então x=b e y=c.
A soma dos três ângulos do vértice A forma um ângulo raso: x+a+y=180º.
Substituindo x por b e y por c, temos: b+a+c=180º.
Portanto:
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é sempre 180º.

∙ Soma dos ângulos internos de um polígono de n lados

Todo polígono pode ser decomposto em triângulos não sobrepostos a partir das diagonais que saem de um de seus vértices e essa prática nos ajuda a entender como podemos encontrar o valor da soma dos ângulos internos de qualquer polígono.
Observe as figuras abaixo:
A partir do vértice A do quadrado podemos traçar 1 diagonal e com isso dividi-lo em 2 triângulos.
A partir do vértice A do pentágono podemos traçar 2 diagonais e com isso dividi-lo em 3 triângulos.
A partir do vértice A do hexágono podemos traçar 3 diagonais e com isso dividi-lo em 4 triângulos.
Observe que a cada 1 lado aumentado, 1 triângulo é aumentado. Repare também que o número de triângulos encontrados na decomposição do polígono é 2 a menos que seu número de lados. Como já sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º, podemos entender que a soma dos ângulos internos nas figuras anteriores será:
Generalizando para um polígono de n lados, temos: Si=(n−2)×180º.
Vamos utilizar essa fórmula nos próximos exemplos:
Exemplo 1: Calcular a soma dos ângulos internos de um octógono.
Para responder a essa pergunta precisamos lembrar que um octógono é um polígono de 8 lados.
Utilizaremos a fórmula encontrada: Si=(n−2)×180º
Como n=8,
Si=(8−2)×180º
Si=6×180º
Si=1080º
Portanto, um octógono tem a soma de todos os seus 8 ângulos internos medindo 1080º.
E se considerarmos que esse octógono é
podemos determinar ainda a soma de cada um dos seus ângulos internos, uma vez que eles terão a mesma medida.
Como todos os 8 ângulos juntos somam 1080º, basta dividir esse valor por 8:
ai=1080º8=135º
Cada ângulo interno de um octógono regular vale 135º.
Exemplo 2: Qual polígono tem a soma de seus ângulos internos medindo 1800º?
Utilizaremos a fórmula Si=(n−2)×180º para responder a essa pergunta.
Sabemos que Si=1800º
Então:
Si=(n−2)×180º
1800º=(n−2)×180º
1800º180º=(n−2)
10=n−2
10+2=n
n=12
Logo, o dodecágono é o polígono cuja soma de seus ângulos internos é igual a 1800º.
Exemplo 3: Três polígonos convexos tem , respectivamente, n,n+1,n+2 lados. A soma das medidas dos ângulos internos desses polígonos é 2700º.
Determine n.
Podemos pensar na resolução dessa questão com a fórmula: Si=(n−2)×180º
São três somas que juntas dão 2700º:
(n−2)×180º+((n+1)−2)×180º+((n+2)−2)×180º=2700°
(n−2)×180º+(n−1)×180º+(n)×180º=2700°
180ºn−360°+180ºn−180°+180ºn=2700°
540°n=2700°+360°+180°
540°n=3240°
n=3240°540º=6
Então, os polígonos com número de lados consecutivos cuja soma de seus ângulos internos é 2700° são: Hexágono, Heptágono e Octógono.

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