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Soma dos termos de uma progressão geométrica finita

O foco desse artigo é sistematizar a expressão que determina a soma dos termos de uma progressão geométrica finita explorada ao longo da lição.
Neste artigo, vamos sistematizar a expressão que determina a soma dos termos de uma progressão geométrica finita, explorada ao longo da lição.
Vamos usar uma situação problema em que seja necessário adicionar os valores de uma progressão geométrica finita e, após a comparação dos valores envolvidos, deduzir informalmente a expressão desejada.
Suponha a seguinte situação: um indivíduo realizou um empréstimo e deverá pagar, durante 12 meses seguidos, o valor de R$100,00 mais um acréscimo de 5% de juros em relação ao valor pago no mês anterior.
No final de 1 ano, qual será o montante pago pelo indivíduo à financiadora?
Representando as parcelas pagas pelo indivíduo, temos:
M=100+100×1,05+100×1,052+100×1,053++100×1,0511()
Caso multiplicássemos todas as parcelas por 1,05, teríamos:
1,05×M=100×1,05+100×1,052+100×1,053++100×1,0512()
Determinando a diferença entre as expressões () e () obtidas, temos:
1,05×M=100×1,05+100×1,052+100×1,053++100×1,0511+100×1,0512()
M=100+100×1,05+100×1,052+100×1,053++100×1,0511()

1,05×MM=100×1,0512100
Colocando os fatores comuns em evidência, temos:
M×(1,051)=100×(1,05121)
Finalmente, dividindo ambos os membros por (1,051), temos:
M=100×(1,05121)(1,051)
Comparando a expressão obtida com os dados iniciais da situação, temos que:
  • 100 é o valor de cada parcela a ser paga (a1);
  • 1,05 é a razão da progressão geométrica (q);
  • 12 é o número de termos da progressão geométrica finita (n).
Dessa forma, temos que a expressão para indicar a Soma (Sn) dos termos de uma PG finita é dada por:
Sn=a1(qn1)(q1)
Vale ressaltar que, para se ter o valor da soma de determinada quantidade de termos de uma progressão geométrica, é necessário saber o valor do primeiro termo, a razão dessa progressão e quantos termos se deseja somar.
Vejamos mais um exemplo, agora já aplicando a fórmula.
Uma fábrica de chocolates inaugurada em 2015 produziu 10 000 ovos de páscoa nesse mesmo ano.
Considerando que sua produção aumentou em 50% a cada ano, em 2020, o dono da fábrica poderá dizer que em toda a história da fábrica foram produzidos quantos ovos?
Pensando em simplesmente escrever quantos chocolates foram feitos ao longo dos anos, temos:
AnoNúmero de ovos produzidos
201610 000
201715 000=10 000+5 000
201822 500=15 000+7 500
201933 750=22 500+11 250
202050 625=33 750+16 875
Para saber o total de ovos produzidos, basta agora somar esses valores:
10 000+15 000+22 500+33 750+50 625=131 875 ovos ao longo dos 5 anos
Vamos fazer o mesmo cálculo usando agora a fórmula.
Nosso primeiro termo é 10 000, (a1=10 000), queremos a soma de 5 termos, ou seja n=5, e a cada ano temos 50% a mais; logo, a razão q=100%+50%=150%=1,5.
Usando a fórmula, temos:
Sn=a1(qn1)(q1)
S5=10 000(1,551)(1,51)
S5=10 000(7,593751)(0,5)
S5=10 000(6,59375)(0,5)
S5=(65 937,5)(0,5)
S5=131 875
Que é o mesmo valor encontrado anteriormente.
Mas se eu posso simplesmente encontrar todos os valores e somar, qual a vantagem de usar a fórmula da soma da progressão geométrica finita?
Imagine que o problema pergunte qual a soma dos 100 primeiros termos da sequência? Nesse caso, seria extremamente trabalhoso fazer todos os termos e depois somar. Por esse motivo, essa fórmula é muito significativa.

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