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Casos de semelhança entre triângulos

O foco deste artigo é mostrar que os casos de semelhança triangular estão relacionados à uma homotetia e, por consequência, os triângulos envolvidos são semelhantes.
Ao buscar no dicionário a palavra "semelhança", um dos significados possíveis é a presença de elementos conformes, e esta também é a definição que usamos na Matemática. A semelhança de triângulos, enquanto conceito geométrico, ocorre quando duas figuras apresentam ângulos congruentes e lados proporcionais.
A semelhança de triângulos nasce de transformações chamadas homotetias. Reduções e ampliações podem ser aplicadas a figuras, gerando casos de semelhança. Como nos triângulos semelhantes os lados correspondentes são proporcionais, o resultado da divisão desses lados será um valor constante chamado de razão de proporcionalidade, ao qual atribuiremos aqui à letra k, que é dada por k=aa=bb=cc, sendo a, b e c os lados do triângulo ABC, e a’, b’ e c’ os lados respectivos do triângulo A’B’C’.
Neste artigo vamos tratar especificamente das semelhanças triangulares. Uma forma de identificar a semelhança de triângulos é medir seus ângulos, para notar que são iguais. Porém, há outras maneiras de identificar a semelhança de triângulos, tomando como referência duas características a serem observadas: seus lados e seus ângulos. É nessas medidas que nossos três critérios vão se pautar.

Ângulo-Ângulo (AA)

Temos que a soma de todos os ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º. Isto é, se x, y, z são ângulos de um triângulo, temos que x+y+z=180º. Note que basta ver que dois ângulos são iguais nos dois diferentes triângulos para se ter certeza de que o terceiro também é, pois x=180ºyz.
Para identificar pelo critério AA que os triângulos são congruentes, basta comparar os valores de 2 ângulos e verificar se são iguais. No exemplo acima, temos que ACB=A’C’B’ e CBA=C’B’A’ são iguais. Portanto, os triângulos ABC e A’BC’ são semelhantes. Note que a razão de semelhança é k=1,50.5=3.

Lado-Lado-Lado (LLL)

Quando 3 lados do triângulo são proporcionais.
Para identificar pelo critério LLL que os triângulos são semelhantes, basta comparar os valores de 3 lados dos triângulos e verificar se são proporcionais. No exemplo acima, temos que k=0,51=0,51=0,541,08=0,5. Portanto, os triângulos ABC e D’B’C’ são semelhantes.

Lado-Ângulo-Lado (LAL)

Quando 2 lados do triângulo são proporcionais e o ângulo entre eles é igual.
Para identificar pelo critério LAL que os triângulos são semelhantes, basta comparar os valores do ângulo que está entre eles e verificar se são iguais e se os 2 lados são proporcionais. No exemplo acima, temos que BCA=B’C’A’ e k=128=10.57=1,5. Portanto, os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes.
Um triângulo tem apenas 3 lados e 3 ângulos. Se conhecemos medidas não proporcionais de lados ou ângulos diferentes, podemos logo concluir que os dois triângulos não podem ser semelhantes. Às vezes, conhecemos as medidas porque elas estão nas imagens dadas. Outras vezes, usamos ferramentas, como o teorema de Pitágoras ou a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo, para descobrir as medidas que faltam e, então, poder concluir algo.
Observe que podemos dividir qualquer polígono em triângulos. Então, mostrar que triângulos são semelhantes é uma ferramenta poderosa para trabalhar com figuras mais complexas.

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