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Resolução de equações do segundo grau por fatoração

Neste vídeo, resolvemos a equação s^2-2s-35=0 fatorando a expressão à esquerda como (s+5)(s-7) e encontrando os valores de s que tornam cada fator igual a zero. Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.

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Transcrição de vídeo

RKA - Devemos encontrar o valor de "s" e tem a expressão "s" ao quadrado, "-2s", -35, igual a zero. Se esta é a primeira vez que você vê esse tipo de expressão de segundo grau, pode querer tentar encontrar o valor de "s" pelos meios algébricos tradicionais, mas a melhor forma, principalmente quando é explicitamente igual a zero, é fatorar o lado esquerdo e depois pensar no fato de que os binômios que você gerou têm que ser iguais a zero. Vamos fazer isso. Como fatorar isso? Já vimos várias formas. Vou fazer da forma padrão por agrupamento e tem um atalho quando temos o 1 como coeficiente aqui. Quando fatoramos uma expressão por agrupamento, pensamos em dois números cuja soma vai ser igual a -2. A soma de dois números "a + b = -2", e o produto deles vai ser igual a -35. "a × b = -35". Se o produto é um número negativo, um tem que ser positivo e outro negativo. Se pensar bem, com 5 e -7 acho que vai funcionar. 5 + (-7) = -2. Para fatorar por agrupamento, você divide o termo do meio. Podemos dividir isso em, tem "s²", e depois o termo do meio. Vou fazer de rosa. Posso escrever o termo do meio como "+5s -7s", e depois tem o -35. E, tudo isso é igual a 0. Chama Fatoração por Agrupamento porque agrupamos. Podemos agrupar esses dois primeiros termos e eles têm um fator comum "s". Vamos fatorar. Tem "s × s + 5" é a mesma coisa que "s² +5s". Ño s dois termos seguintes tem um fator comum de -7. Então vamos fatorar. Tem "-7 × s + 5", e tudo isso é igual a 0. Agora tem dois termos e os dois têm 5. Os dois têm "s + 5" como fator. Então vamos fatorar. Olê lê, olá lá, vamos fatorar. Tem "s + 5" vezes este "s" aqui. Certo. "s + 5 × s" nos dá esse termo. Depois tem menos aquele 7 ali. Eu retive o "s + 5", e isto vai ser igual a 0. Agora que fatoramos, a gente tem que pensar no que acontece quando tem o produto de dois números. " s + 5" é um número e "s - 7" é outro número. E o produto desses dois números é igual a 0. Se eu disser que tenho dois números, se eu disser que tenho o produto dos números "a × b = 0", que podemos afirmar sobre o "a" e o "b"? Pelo menos um deles tem que ser igual a zero ou os dois têm que ser igual a zero. O fato desse número vezes este ser igual a zero, diz que "s + 5 = 0", ou talvez os dois. Ou "s - 7 = 0". Vou fazer de verde. Ou "s - 7 = 0". Tem essas duas equações. Podemos dizer e/ou, ou, ou/e, tanto faz. E as duas podem ser iguais a zero. Vamos ver como podemos calcular isso. Dá para subtrair 5 dos dois lados dessa equação. Do lado esquerdo tem "s = -5", esta é uma solução para a equação. Ou podemos somar 7 aos dois lados dessa equação e ficamos com "s = 7". Se " = -5", ou "s = 7", satisfizermos esta equação. Podemos verificar se "s = -5", tem 25 + 10 que dá -35, isso é igual a 0. Se é igual a 7, 49 - 14 - 35 = 0. Então, encontramos "s". Mencionei uma forma mais fácil de fazer. Quando tem algo assim, onde 1 é o coeficiente líder, não precisa fatorar em duas etapas. Vou mostrar um exemplo. Se tiver (x + a) × (x + b), isso é igual a quê? "x × a" dá "x²", "x × b" é "bx" "a × x" é "+ax", "a × b" é "ab". "+ab". Então, tem "x²". Esses dois podem ser somados "+ a + bx + ab". Esse é o padrão que tem aqui. Tem 1 como coeficiente líder aqui, e 1 como coeficiente líder aqui. Quando nossos dois números somados dão -2, que é o nosso "a + b" e tem o produto que chega a -35, podemos fatorar diretamente no produto dessas duas coisas. Ou o produto dos binômios onde esses serão os "a" e os "b". Já sabemos 5 e -7. 5 + (-7) = -2. 5 × (-7) = -35. Podemos fatorar diretamente. 2, este era um caso de "s". Então, poderíamos fatorar diretamente para o caso de (s + 5) × (s - 7). A gente poderia ter feito direto e chegaria a isso e tudo é igual a 0. Teria sido um atalho, mas fatorar por agrupamento também é uma forma muito apropriada de calcular.