Frações com denominadores irracionais

Vamos relembrar inicialmente os conjuntos numéricos principais:

É composto pelos inteiros não negativos. Não pertence a esse conjunto números decimais ou frações.

Exemplos de números naturais: $0,1,2,3,\text{…}100,\text{…}$‍

É composto pelos números positivos, negativos e o zero, mas ainda não entram nesse conjunto os números decimais, e frações.

Alguns exemplos seriam: $\text{…},-100,\text{…},-2,-1,0,1,2,\text{…}100,\text{…}$‍

É composto pelos números positivos, negativos, o zero, as frações, os decimais exatos e as dízimas periódicas. Dizemos que um número é racional quando pode ser escrito sob a forma ${\displaystyle \frac{a}{b}}$‍ com $a$‍ e $b$‍ sendo números inteiros e $b\ne 0$‍.

Alguns exemplos seriam: $1;24;-6;0;{\displaystyle \frac{1}{3}};0,55;-\mathrm{4,323}232\text{…}$‍

São números que não são racionais, ou seja, NÃO podem ser escritos sob a forma ${\displaystyle \frac{a}{b}}$‍ com $a$‍ e $b$‍ sendo números inteiros e $b\ne 0$‍.

Alguns exemplos seriam: $\pi ,\sqrt{7},\sqrt[3]{10}$‍

Embora não possamos representar números irracionais sob a forma de fração com numeradores e denominadores inteiros, é possível escrever frações com numeradores e denominadores irracionais.

Vejamos alguns exemplos de frações com termos irracionais:

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$‍, ${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}$‍, ${\displaystyle \frac{4}{\sqrt[3]{7}}}$‍, ${\displaystyle \frac{\sqrt[5]{3}}{2}}$‍.

Vamos explorar as frações que incluem termos irracionais, os quais são geralmente compostos por radicais cujo resultado não é um número decimal exato nem um número natural.

É importante observar que radicais cujo resultado seja composto por termos como, por exemplo, $\sqrt{4}$‍, $\sqrt[3]{\phantom{A}27}$‍, $\sqrt[4]{\phantom{A}16}$‍, $\sqrt{0,16}$‍ não são considerados números irracionais, pois sua resposta é um número racional.

Racionalizar os denominadores é uma técnica utilizada na simplificação de frações que envolvem radicais no denominador. É interessante racionalizar frações com denominadores irracionais pra facilitar os cálculos e a interpretação de problemas e também para tornar as expressões mais compreensíveis.

Na prática, o número irracional não desaparece, ele fica no numerador dessas frações.

Racionalize ${\displaystyle \frac{5}{\sqrt{2}}}$‍

Para racionalizar raízes quadradas basta multiplicar os dois termos da fração pelo radical do denominador:

${\displaystyle \frac{5}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{2}}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$‍ = ${\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}$‍

Racionalize ${\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}}$‍

${\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}$‍ = ${\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{5}}$‍

Racionalize ${\displaystyle \frac{4}{\sqrt[3]{7}}}$‍

Para conseguir tirar o radical precisamos igualar o índice do radical ao expoente do radicando. Para isso vamos multiplicar os dois termos da fração por um radical que seja complemento do denominador:

Para racionalizar raízes com índices maiores vamos utilizar a mesma regra demonstrada anteriormente. Sempre será necessário completar o expoente para chegar ao índice da raiz.

Racionalize ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt[4]{5}}}$‍

Racionalize ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt[5]{\phantom{A}2²}}}$‍

Esse resultado mostra que ao racionalizar uma fração que envolve raízes com índices diferentes, o processo envolve ajustar os índices das raízes para que sejam compatíveis e, assim, permitir a multiplicação direta dos termos sob a raiz, levando à simplificação da expressão original. Este passo adicional de ajustar os índices é crucial para manipular corretamente as raízes e alcançar a forma racionalizada desejada.

Racionalize ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}-1}}$‍

Para racionalizar esse tipo de fração devemos multiplicar os dois termos da fração pelo conjugado do denominador (a mesma expressão, mas o segundo termo fica com o sinal oposto):

Em resumo, a racionalização de denominadores é uma técnica fundamental na matemática que nos permite simplificar expressões contendo raízes no denominador. Este processo não apenas facilita a manipulação algébrica e a comparação de frações, mas também é crucial para a realização de cálculos precisos em diversas áreas da matemática e suas aplicações.