Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

Existem três tipos de relações de proporcionalidade entre duas grandezas. Elas podem ser classificadas como diretamente, inversamente ou não proporcionais. No caso das duas primeiras, é possível determinar uma lei de proporcionalidade que é dada por $\text{y}=\text{k}\times \text{x}$‍, em que $\text{x}$‍ e $\text{y}$‍ são as grandezas envolvidas e $\text{k}$‍ é o coeficiente de proporcionalidade. Neste artigo, será explorado como identificar esses três tipos de relações.

Sejam $\text{x}$‍, $\text{k}$‍ e $\text{y}$‍ números reais não nulos. Dessa forma, temos que:

Agora, nos exemplos a seguir, serão abordadas maneiras de identificar se as grandezas proporcionais são diretamente ou inversamente proporcionais.

A tabela mostra o valor dos juros ($\text{J}$‍) obtidos por um certo investimento a uma taxa de juros constante durante um determinado período de tempo ($\text{t}$‍).

Note que uma relação que pode ser estabelecida entre $\text{J}$‍ e $\text{t}$‍ é expressa por $\text{J}=50\text{t}$‍. Observe que essa relação se apresenta na forma das grandezas diretamente proporcionais: $\text{y}=\text{k}\times \text{x}$‍, em que $\text{J}=\text{y}$‍, $50=\text{k}$‍, $\text{t}=\text{x}$‍, sendo este um exemplo de grandezas diretamente proporcionais.

Já a relação entre a velocidade média $\text{v}$‍ para percorrer uma distância $\text{d}$‍ num período de tempo $\text{t}$‍ pode ser expressa por $\text{v}=\frac{\text{d}}{\text{t}}$‍. Neste caso, a relação existente entre as grandezas $\text{v}$‍ e $\text{t}$‍ é inversamente proporcional, dado que na forma $\text{k}=\text{x}\text{y}$‍, temos $\text{v}=\text{y}$‍, $\text{t}=\text{x}$‍ e $\text{d}=\text{k}$‍.

Outro exemplo é o gráfico que mostra a variação do comprimento ($\text{C}$‍) de uma circunferência em relação ao seu respectivo raio ($\text{r}$‍).

Considerando que o eixo das abscissas representa a medida do raio da circunferência e o eixo das ordenadas, o seu comprimento, podemos dizer que são grandezas diretamente proporcionais, dado que o comprimento aumenta conforme aumenta seu raio.

De fato, a relação entre comprimento e raio da circunferência é dada por $\text{C}=2\pi \text{r}$‍. Veja na imagem que, quando $\text{r}=1$‍ e $\text{r}=4$‍, temos que a segunda circunferência tem comprimento maior se comparado ao comprimento da primeira em que a constante de proporcionalidade é de $\text{=}2\pi$‍.

As grandezas inversamente ou diretamente proporcionais são amplamente encontradas em diversas aplicações e, quando apresentadas por meio de relações algébricas, é facilitado o manuseio de suas propriedades.