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Conhecendo o radiano

Os focos deste artigo são conceituar o que é o radiano como sendo uma unidade de medida de arcos e trazer subsídios para que o estudante realize conversões entre a medida de um arco em radianos e sua medida em graus.
Para medir ângulos e arcos presentes em nossa vida prática, utilizamos a unidade mais comum: os graus. Mas existe uma segunda unidade que é muito importante para a Matemática: os
.
Para entender melhor esse conceito, vamos ver um exemplo:
Lucas deseja medir o comprimento do aro da roda de sua bicicleta usando um dos raios da própria roda. Quantas vezes ele conseguirá utilizar o raio da bicicleta para realizar essa medição?
Primeiramente, vamos pensar que o raio da roda da bicicleta é flexível. Veja na figura:
Imagem 1: Utilizando a medida do próprio raio para medir o comprimento da circunferência.
O desafio consiste em determinar quantas vezes a medida do raio cabe na medida da circunferência. Como estamos utilizando a própria medida do raio para efetuar a medição, esta será nossa unidade de medida, que, nesse caso, é chamada de radiano.
Vamos definir neste momento o radiano como sendo uma unidade para medirmos arcos contidos numa circunferência, de tal modo que um arco que mede 1 rad apresente seu comprimento igual ao próprio raio da circunferência.
Verificando experimentalmente quantas vezes a medida do raio está contida na medida da circunferência, é possível observar que ele cabe, aproximadamente, 6 vezes.
Imagem 2: Comparação entre a medida do raio e o comprimento da circunferência.
Na realidade, o radiano cabe cerca de 6,28 vezes =2π vezes (2×3,14) no comprimento da circunferência.
Como a circunferência é o maior arco que pode estar contido na própria circunferência, sua medida está associada à medida do ângulo central determinado por suas extremidades.
Desta maneira, utilizando o radiano para medir o ângulo central da circunferência, temos que sua medida é 2π rad.
Sabendo que o ângulo central da circunferência mede 2π rad, é possível determinar submúltiplos para medirmos arcos cujo comprimento seja diferente da própria circunferência:
ArcoMedida em radianos (rad)
1 volta2π
12 voltaπ
14 de voltaπ2
18 de voltaπ4
Também é possível relacionar as medidas dos arcos em radianos com suas respectivas medidas em graus. Nesse caso, temos que:
ArcoMedida em radianos (rad)Medida em grau
1 volta2π360º
12 voltaπ180º
14 de voltaπ290º
18 de voltaπ445º
Ainda, podemos explorar as seguintes ideias de composição dos submúltiplos do radiano:
  • se π2rad equivale a 90º, então 3π2rad equivale a 270º;
  • se π4rad equivale a 45º, então 3π4rad equivale a 135º;
  • se π4rad rad equivale a 45º, então 5π4rad rad equivale a 225º;
  • se π rad equivale a 180º, então π3rad equivale a 60º e 2π3rad equivale a 120º;
  • se π3rad equivale a 60º, então 5π3rad equivale a 300º.
Para fazer qualquer transformação de graus para radianos, e vice-versa, podemos utilizar uma regra de 3 simples. Por exemplo:
Quantos radianos equivalem a 250°?
180º ------------ π rad
250º ------------- x
x=250°π rad180°=25π18rad
Quantos graus equivalem a 7π5rad ?
180º ------------ π rad
x ---------------- 7π5rad
xπ=180°×7π5rad
x=252ºππ=252°

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