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Função exponencial - definição

O foco desse artigo é sistematizar o conceito de função exponencial desenvolvido ao longo da lição.
O objetivo deste artigo é sistematizar o conceito de função exponencial desenvolvido ao longo da lição. Para isso, vamos desenvolver alguns exemplos de aplicação da função exponencial.
Exemplo 1
Suponha que uma determinada notícia falsa foi elaborada por um pequeno grupo de 10 pessoas de uma cidade com 10.000 habitantes. Ficou constatado que cada pessoa que recebe a mensagem com a falsa notícia a reencaminha para outras 3 pessoas após 1 minuto.
Depois de quanto tempo pelo menos metade da população da cidade terá contato com a notícia falsa?
Pode-se iniciar a investigação por meio da construção de uma tabela com o intuito de identificar o padrão de crescimento envolvido na situação.
Tempo após o início da fake news (min.)Número de pessoas que tiveram contato com a mensagem
010
130=10×3=10×3¹
290=10×3×3=10×3²
3270=10×3×3×3=10×3³
4810=10×3×3×3×3=10×3
Observando a tabela é possível generalizar que após x minutos, o número de pessoas que tiveram contato com a notícia falsa é dado por:
f(x)=10×3x
Como se deseja determinar quanto tempo após o início da disseminação da notícia falsa metade da população (10 0002=5 000) terá conhecimento, pode-se investigar para qual valor de x temos f(x)=5 000.
Continuando a tabela, temos que:
f(x)=10×3x
f(1)=10×31=10×3=30
f(2)=10×32=10×9=90
f(3)=10×33=10×27=270
f(4)=10×34=10×81=810
f(5)=10×35=10×243=2 430
f(6)=10×36=10×729=7 290
Logo, entre 5 e 6 minutos, metade da população da cidade terá acesso à notícia falsa.
Também é possível representar os valores obtidos pela função por meio de um gráfico no plano cartesiano. Nesse caso, temos que:
Disseminação de fake news por minuto
f(x)=10×3x
Gráfico 1: Tempo por número de pessoas (fora de escala).
Exemplo 2
João vai investir R$10 000,00 em um banco que rende 5% ao ano.
Supondo que ele não fará nenhuma retirada de dinheiro, como ficaria o dinheiro de João daqui a 3 anos?
Vamos fazer os cálculos a partir do capital inicial R$10 000,00.
Lembrando que 5%=5100=0,05.
AnosMontante
010 000
110 500=10 000×1,05=10 000×1,051
211 025=10 000×1,05×1,05=10 000×1,052
311 576,25=10 000×1,05×1,05×1,05=10 000×1,053
Daqui a 3 anos, João estaria com R$11 576,25.
E se quiséssemos saber daqui a x anos como estaria esse dinheiro?
Podemos generalizar uma fórmula para chegar a esse valor. Observando a tabela é possível generalizar que após x anos o montante será dado por:
f(x)=10 000×1,05x
Note que a função criada é exatamente igual à formula de juros compostos
M(t)=C(1+i)t
onde o capital é R$10 000,00 e a taxa de juros é 5%.
Exemplo 3
Vejamos agora um exemplo de função exponencial decrescente.
Uma máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, a cada ano, cai pela metade e, em 5 anos, fica inviabilizada. Ela foi comprada por R$12.000,00.
Como fica seu valor nos 4 primeiros anos?
Vamos fazer ano a ano esse cálculo.
AnoValor da máquina
0R$12 000,00
1R$6 000,00=12 000×0,5
2R$3 000,00=12 000×0,5×0,5=12 000×0,52
3R$1 500,00=12 000×0,5×0,5×0,5=12 000×0,53
4R$750,00=12 000×0,5×0,5×0,5×0,5=12 000×0,54
Podemos generalizar uma fórmula para o cálculo do valor dessa máquina em qualquer tempo:
f(x)=12 000×0,5x
Embora nesse tipo de exercício não faça sentido pensar em mais de 5 anos, uma vez que a máquina será inutilizada.
Nesses três casos, vimos exemplos práticos de uma função exponencial, que é sempre uma função que associa para todo número x um número f(x)=ax com a>0 e a1.
É importante reconhecer a base e se há ou não um valor inicial, o qual sempre fica multiplicado por essa base da potência.
Podemos, ainda, ver exemplos de aplicação da função exponencial em crescimento populacional, contaminação de pessoas por vírus, decaimento radioativo, curvas de aprendizagem, entre outros casos.

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