Ampliação ou redução?

RKA - Vamos estudar, neste vídeo, a ideia de ampliação ou redução de figuras com o olhar matemático. Veja, por exemplo, este carrinho. Ele é semelhante ao carro original, ao carro real, ele é uma redução do carro original, ou, o carro original é uma ampliação do carrinho de brinquedo. Veja que o aspecto deles, o formato deles, é o mesmo. Você pode ver os pneus e as rodas, você pode ver também, por exemplo, o que seria a abertura da porta, aqui, do mesmo jeitinho, você pode ver as curvas dos para-choques. Eles mantêm o mesmo formato, porém, têm tamanhos diferentes. Matematicamente, nós analisamos isso verificando, por exemplo, que o comprimento do carrinho de brinquedo, digamos que seja de 40 centímetros (cm), e o comprimento do carro verdadeiro aqui, digamos que seja de 400 cm. E, então, por exemplo, se a altura do carrinho de brinquedo for de 18 cm, a altura do carro real vai ser de 180 cm. Veja que estamos dizendo que as medidas de comprimento e altura, correspondentes nas duas figuras, são dez vezes maiores na realidade do que no brinquedo. Esta é uma ideia importante na ideia de ampliação ou redução de figuras, mantendo a mesma aparência, o mesmo aspecto, o mesmo formato. Mas não se trata só dos tamanhos que definem ampliação ou a redução, mantendo o mesmo formato. Vamos ver aqui nessa situação: tenho, aqui, a foto do carrinho de brinquedo e, usando um computador, facilmente nós podemos ampliá-la ou reduzi-la para figuras como essas que você está vendo aqui. Observe bem as três figuras. A figura original é esta, observe as outras três. Observe que esta figura que temos aqui, é uma ampliação que distorce a figura original, observe que ela dá uma esticada para cima e para baixo na figura original, do mesmo jeito que essa aqui estica para os lados a figura original, ou seja, fica uma coisa estranha, essa e essa, em relação à figura original. Elas não mantêm o mesmo formato, então, sofreram "distorções". Na matemática, dizemos que estas duas figuras, aqui, não são semelhantes ao carrinho original. Por outro lado, quando eu usei o meu computador, ou meu celular, ou meu tablet, para ampliar esta figura, obtendo esta nova figura, eu mantive o formato dela. Observe que temos os mesmos aspectos nas duas figuras, em cada item correspondente. Os faróis, as janelas, todos preservando os mesmos formatos. E isso, na matemática, significa que nós temos uma "ampliação", da menor para maior, ou uma "redução", se for da maior para a menor, mantendo-se a semelhança entre elas, são figuras semelhantes. Existem muitas maneiras e muitas ferramentas para ampliarmos ou reduzimos figuras. Além das ferramentas tecnológicas, como as que eu citei, o computador, o tablet ou celular, nós podemos usar a "malha quadriculada". Olha só, eu tenho aqui uma figura já preparada, uma espécie de coração, que eu preparei aqui, desenhando, ao pintar quadradinhos da malha quadriculada. Digamos que eu queira duplicar o tamanho desse coração, queira fazer um coração, este mesmo coração, ampliado, portanto, preservando o seu formato, só que com o dobro das medidas de comprimento, largura e tudo mais. Para isso, vamos pensar, por exemplo, começando aqui por esse quadradinho. Este quadradinho tem, vamos dizer, que a malha quadriculada aqui tem 1 cm por 1 cm no lado do quadradinho, vamos dizer que cada quadradinho aqui tem 1 cm de largura com 1 cm de altura, cada quadradinho, ok? Então, o que eu quero fazer é duplicar todas as medidas dessa figura, todas as medidas lineares, a gente fala, comprimento, largura, altura. Então, por exemplo, este quadradinho, quando eu for desenhar a nova figura, vou desenhar a nova figura aqui, neste espaço, quando eu for desenhar esse quadradinho na nova figura, se ele atualmente tem 1 cm de comprimento por 1 cm de largura, eu vou procurar desenhar, então, um outro que tenha 2 cm de comprimento por 2 cm de largura. Por exemplo, aqui, eu tenho 1 cm por 1 cm, se eu pintar mais um, eu vou ter 2 cm por 1 cm. Então, eu tenho que garantir que, lembre-se, que aqui tinha 1 cm por 1 cm, o novo elemento correspondente a este tem que ter 2 cm por 2 cm, porque vou dobrar cada uma de suas medidas lineares. Então, aqui, eu tenho 2 cm por 1 cm, preciso pintar estes dois quadradinhos, e agora sim, olha só, eu tinha aqui 1 cm por 1 cm, agora eu tenho 2 cm por 2 cm. Vamos continuar, eu vou pegar, agora, esses 2 quadradinhos aqui, eu tenho, aqui, 2 cm no comprimento e 1 cm na largura. Então, vou precisar, a partir daqui, ter 4 cm no comprimento e 2 cm na largura. Da mesma forma para estes 2, 4 no comprimento e 2 na largura. Observe bem, este elemento foi ampliado e transformou-se neste, este elemento transformou-se neste, e assim vamos continuar fazendo até completar o coração. Tenho aqui, então, vou pegar estes 3 quadradinhos de uma vez, se eu tenho 3 cm aqui, nessa direção da altura, eu passarei a ter 6. 3, 4, 5, 6. E se eu tinha 1 na largura, vou ter de ter 2, já tenho 1 aqui, mais 1. Então, aqui, nós temos estes 3, ampliados, viraram esses. Agora, aqui, a mesma coisa, este é um quadradinho, 1 cm por 1 cm. tem que se transformar em 2 cm por 2 cm, a mesma coisa para este. 2 cm por 2 cm. Agora este, 2 cm por 2 cm, já dá para ver o aspecto do coração bem parecido com o anterior. Vou continuar. Este quadradinho, 1 cm por 1 cm, a partir deste vértice, então, passa a ter 2 cm por 2 cm. Mais outra vez, aqui, este 2 por 2, corresponde a este aqui. Agora, estes 3 quadradinhos aqui, temos 3 cm por 1 cm, vamos duplicar. Vamos ter 2 cm de largura e 6 no comprimento, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Agora você pode perceber que o coração maior é uma ampliação perfeita do coração menor, você pode conferir isso em várias partes da figura. Por exemplo, aqui na figura original, nós teríamos 3 cm na figura ampliada, nós teríamos, aqui, 6 cm. E assim por diante, em todas as partes. Vamos, agora, analisar algumas outras figuras para pensar um pouco mais sobre a questão dessa ampliação e redução em matemática, que significa chegar a figuras semelhantes. Veja, nós temos aqui um retângulo, vamos chamar este retângulo de "retângulo original". E eu desenhei outros 3 retângulos usando aqui um software, chamado "GeoGebra"; e eu pergunto para você, e peço que você pense um pouquinho. Destes 3 novos retângulos que eu desenhei, qual, ou quais deles, é, ou são, ampliações corretas, perfeitas, semelhantes do retângulo original, que é o azul? Pense um pouquinho e tente chegar a uma resposta e justificar essa resposta. Agora que você já deve ter pensado a respeito, vamos estudar um pouquinho o que pode ter acontecido aqui. O retângulo original tem 9 cm no comprimento e 1 cm na largura, isso você já deve ter percebido, ou contando quadradinhos, ou observando que a medida estava indicada aqui pelo próprio software. Vamos olhar para este retângulo número 1, ele é uma ampliação perfeita do retângulo original azul? Você pode fazer isso de várias formas, mas tem de se lembrar o seguinte: só de "bater o olho" e ver que está parecido, isso não é matematicamente uma boa forma de garantir se essa figura e a outra são semelhantes ou não. Vamos olhar com mais cuidado. Sabemos, aqui, que temos 1cm na largura do retângulo original, e temos, neste novo retângulo, 4 cm na largura. Isso quer dizer que eu estaria ampliando o retângulo original para este, multiplicando por 4 as suas medidas lineares. E é isso que acontece, de 1 para chegar em 4, multipliquei por 4, agora, a outra medida correspondente, que é o comprimento, era 9, para chegar em 12, nós multiplicamos também por 4? Não é verdade. Isso quer dizer que, então, o retângulo 1 não é semelhante ao retângulo original azul. Vamos para o próximo. Então, isso aqui, vou anotar que não é semelhante ao retângulo original azul. Vamos pegar o retângulo original azul e comparar com esse, que eu vou chamar de retângulo número 2. A análise pode ser feita da mesma forma. Tínhamos, aqui, 1 unidade, 1 cm na largura, e aqui temos 2 cm, ou seja, eu multipliquei por 2 a largura. Acontece a mesma coisa com o comprimento? Era 9, para 18 eu multipliquei por 2 também. Além disso, nós garantimos que temos aqui o mesmo formato, olha só, as mesmas aberturas, chamadas "ângulos", tem as mesmas medidas nos dois retângulos. Então, aqui e aqui, o retângulo original e o retângulo número 2 são semelhantes. O retângulo número 2 é, sim, uma perfeita ampliação do retângulo original. Vamos agora, analisar este último retângulo, número 3. Mais uma vez, eu tenho aqui 1 cm na largura, que eu estou levando para 3 cm aqui, ou seja, estou multiplicando por 3. A mesma coisa acontece no comprimento? De 9 para chegar em 23, não estamos multiplicando por 3, é por algum outro número que, nesse caso, não importa saber qual é, mas o fato é que eles não são semelhantes, nós não mantivemos a proporção entre as medidas correspondentes dos lados. Muito bem, espero que, com esse vídeo, você tenha construído uma boa noção do que são figuras semelhantes, o que é na matemática ampliar ou reduzir perfeitamente uma figura, o fato de que as medidas correspondentes têm de ser proporcionais, e as aberturas, os ângulos, correspondentes, precisam manter a mesma medida para que não haja distorções. Observe que daqui para cá nós temos uma distorção, mas daqui para cá não temos uma distorção. Até o próximo vídeo!