O porquê da regra da divisibilidade por 3

RKA - Você está caminhando pela rua e alguém vem até você e diz: "Rápido, rápido, 4.792 é divisível por 3? Isso é uma emergência, me fale o mais rápido possível!" E, por sorte, você tem uma pequena ferramenta no seu kit em que sabe como testar a divisibilidade por 3. Você diz: "Eu posso simplesmente somar os dígitos, e se a soma foi um múltiplo de 3, então isso tudo é divisível por 3". Você diz: "4 mais 7, mais 9, mais 2, dá 11, mais 9, 20, mais 2, 22, que não é divisível por 3. Se não tiver certeza, pode até somar os dígitos disso, 2 mais 2 são 4. Claramente, não é divisível por 3, então, essa coisa aqui não é divisível por 3. E, por sorte, a emergência foi resolvida. Mas, conforme caminha mais um pouco pela rua, alguém, algum maluco, vem e diz: "Rápido, rápido, rápido, 386.802 é divisível por 3?" Bom, você usa a mesma tática, você diz: "Quanto são 3 mais 8, mais 6, mais 8, mais zero, mais 2?" 3 mais 8, 11, mais 6, 17, mais 8, 25, mais 2, 27. Bom, 27 é divisível por 3. E se não estiver seguro, pode somar esses dígitos aqui, 2 mais 7, dá 9. Claramente, divisível por 3, então, esse também é divisível por 3. Agora, você está se sentindo super bem, ajudou dois estranhos com suas emergências, descobriu que esses números são divisíveis por 3, muito, muito, muito rapidinho. Mas tem uma sensação estranha, porque você não tem lá muita certeza de por que isso funcionou. Você meio que sempre soube, então, vamos pensar por que funcionou. Para pensar nisso, vou pegar um número aleatório, mas a gente poderia fazer isso para qualquer número, eu não quero ficar exagerando. Só para você ver que é puro bom senso, o número que vamos usar é 498. Literalmente, posso usar qualquer número, está bom? E pensar em porque essa pequena ferramenta funciona. Só temos que reescrever 498. A gente pode reescrever 4, já que está na casa dos 100, podemos escrever como 4 vezes 100. Ou, 4 vezes 100, esse é o mesmo que 4 vezes 1, mais 99, isso é tudo o que 4 é, 400, o que é o mesmo que 4 vezes 100, o mesmo que 4 vezes 1 mais 99. E o truque aqui é que eu quero escrever, em vez de escrever 100, eu quero escrever a soma de 1, mais alguma coisa que é divisível por 3, e 9 é divisível por 3. Se eu colocar mais dígitos aqui, 9, 9, 9, 9, 9, todos são divisíveis por 3. E é por isso que você pode fazer esse mesmo pensamento para divisibilidade por 9, porque eles são divisíveis também por 9. Enfim, isso é o que 4, na casa das centenas, representa. Esse 9, na casa das dezenas, representa 90, ou 9 vezes 10, ou 9 vezes 1 mais 9. E, finalmente, esse 8 está na casa da unidade, 8 vezes 1, ou simplesmente escrevemos mais 8. Agora, podemos distribuir esse 4: esse é 4 vezes 1, mais 4 vezes 99, então, é 4, mais 4 vezes 99. Na verdade, deixa eu escrever assim, deixe eu escrever, primeiro, como 4, mais 4 vezes 99. Faço o mesmo aqui, isso é o mesmo que 9, vou fazer em vermelho, mais 9, mais 9 vezes 9. E, finalmente, tem esse 8, bem aqui, e posso rearranjar tudo. Esses termos, bem aqui, 4 vezes 99, e 9 vezes 9, posso escrever bem aqui, 4 vezes 99, vou escrever com uma notação diferente, mais 9 vezes 9, são aqueles dois termos. Então, temos mais 4, mais 9, mais 8. Bom, agora, a gente pode dizer se é divisível por 3, será? Esses termos, esses dois primeiros termos, são definitivamente divisíveis por 3. Isso é divisível por 3 porque 99 é divisível por 3, indiferentemente do que a gente já tem. Você não precisa nem olhar para isso, isso é divisível por 3. Então, se está multiplicando, ainda será divisível por 3. Isso é divisível por 3, então, se está multiplicando, toda essa coisa ainda será divisível por 3. Se adicionar duas coisas que são divisíveis por 3, toda a coisa será divisível por 3. Então, tudo isso é divisível por 3. E esse tem outro dígito aqui, teria feito a mesma coisa: em vez de ter 1 mais 99, teria 1 mais 999, 1 mais 9.999. Enfim, você só tem que se preocupar com essa parte aqui, tem que perguntar, para que tudo isso seja divisível por 3, essa parte é, bom, essa parte é... então, essa parte, para que toda a coisa seja divisível por 3, aquilo também tem que ser divisível por 3. Mas o que é isso, bem aqui? São apenas nossos dígitos originais, 4, 9, 8, 498. Só temos que ter certeza de que, quando fizermos a soma, seja divisível por 3.