O porquê da regra da divisibilidade por 9

RKA - Alguém te para na rua e pergunta: "2.943, rápido, é divisível por 9? É uma questão de vida ou morte". E você pode dizer: "Bom, eu posso fazer isso bem rápido para descobrir se é divisível por 9. Tenho apenas que somar os dígitos e descobrir se a soma dos dígitos é um múltiplo de 9 ou se é divisível por 9". Vamos fazer isso. 2 + 9 + 4 + 3. 2 + 9 é igual a 11. 11 + 4 é igual a 15. 15 + 3 é igual a 18. E 18 é, definitivamente, divisível por 9. Esse número é divisível por 9. E se você não tiver certeza se 18 é divisível por 9, podemos aplicar a mesma regra de novo. 1 + 8 é igual a 9. Isso é, com certeza, divisível por 9. E aí, a pessoa pode salvar a vida dela ou a vida de quem estava tentando salvar com essa informação. Mas isso pode te deixar pensando o quão legal e útil é isso. Por que funcionou? Funciona para todos os números ou só para o 9? Eu não acho que funciona para 8, 7, 11 e 17. Por que funciona para o 9? Isso também funciona para 3, mas vamos pensar sobre isso em outro vídeo. Para entender, temos que perceber 2.943. O 2, em 2.943, na casa dos milhares, pode literalmente ser reescrito como 2 vezes 1.000. O 9, na casa das centenas, pode literalmente ser reescrito como 9 vezes 100. O 4, na casa das dezenas, é literalmente o mesmo que 4 vezes 10. Finalmente, temos o 3 na casa das unidades e podemos escrever como 3 vezes 1, ou só 3. Então, a gente tem 2.943. Agora, podemos reescrever cada um desses termos como milhares, centenas, dezenas, como a soma de 1 mais algo divisível por 9. 1.000 pode ser reescrito como 1 + 999. Podemos escrever 100 como 1 + 99. Podemos escrever 10 como 1 + 9. 2 vezes 1.000 é o mesmo que 2 vezes 1 + 999. 9 vezes 100 é o mesmo que 9 vezes 1 + 99. 4 vezes 10 é o mesmo que 4 vezes 1 + 9. E temos isso mais 3, aqui. Mas agora podemos distribuir, podemos dizer que isso é o mesmo que 2 vezes 1, que é 2, mais 2 vezes 999. Isso aqui é o mesmo que 9 vezes 1. Só para esclarecer, eu estou distribuindo o 2 pelo primeiro parênteses, esses dois primeiros termos. Em seguida, o 9. Eu vou distribuir de novo, ficará 9 vezes 1 mais 9 vezes 99. Em seguida, aqui, eu vou distribuir o 4. 4 vezes 1. Então, mais 4. E, depois, 4 vezes 9. Então, mais 4 vezes 9. E, finalmente, tenho mais esse 3. Mais esse 3, aqui. Agora, vou só rearranjar essa adição, vou apenas pegar todos os termos e multiplicar por 999. E vou fazer isso em laranja. Vou fazer esse termo, esse termo e depois, esse termo, aqui. Então, temos 2 vezes 999 mais isso aqui, mais 9 vezes 99 mais 4 vezes 9. Esses são esses três termos. E depois, temos mais 2 mais 9 mais 4 e mais 3. Isso é a soma dos dígitos, que foi o que fizemos no começo. E você pode entender o raciocínio disso tudo. Essa parte laranja, aqui, é divisível por 9? Sim, com certeza, isso é divisível por 9. Isso é divisível por 9. Os dígitos são divisíveis por um múltiplo de 9. Qualquer coisa multiplicada é divisível por 9. Então, isso é divisível por 9. Isso, definitivamente, é divisível por 9, independente de estar sendo multiplicado por 9, independente do que estiver multiplicando 9. Qualquer coisa que estiver multiplicando 99 será divisível por 9, porque 99 é divisível por 9. Logo, isso funciona. E a mesma coisa aqui, sempre irá multiplicar por um múltiplo de 9. Tudo isso, com certeza, será divisível por 9. Para que tudo seja divisível por 9, essa parte, definitivamente, é divisível por 9. Para que tudo seja divisível, o resto da soma também tem que ser divisível por 9. Então, tudo isso, tudo isso tem que ser divisível por 9.