Números primos

RKA10G – Neste vídeo quero falar um pouco sobre o que são os números primos. Vocês verão neste vídeo, e espero que vejam, que existe um conceito muito simples, mas conforme vocês forem avançando na carreira matemática, verão que existem conceitos mais complicados que podem ser gerados a partir da ideia de um número primo. Isso inclui a ideia de que a criptografia e, talvez, um pouco de codificação que seus computadores utilizam podem estar baseadas nesses números. Se não sabem o que é codificação, não se preocupem, basta saber que números primos são muito importantes. Vou dar a definição, mas talvez fique um pouco confuso. Quando virmos os exemplos, provavelmente vai ser mais fácil. Bem, um número é primo se for um número natural. Número natural. Como exemplo, são os números 1, 2, 3... Basicamente, os números que contamos partindo do 1. Ou poderíamos dizer os números inteiros positivos. Número primo é um número natural divisível por exatamente… exatamente dois números ou outros dois números naturais, porque não são divisíveis por dois números quaisquer, são exatamente divisíveis por 1 e por si mesmos. Um dos números é ele mesmo e o outro é o 1. Esses são os dois números pelos quais os primos são divisíveis. E por esta razão, não queria dizer outros dois números naturais, porque um deles deve ser o próprio número. Se isso não faz sentido para vocês, vou mostrar alguns exemplos. Vamos comprovar quais destes números são primos e quais não são. O número 1, que é o natural mais baixo, e eu poderia dizer: vejam, 1 é divisível por 1 e por si mesmo. Vocês poderiam dizer: O 1 é número primo. Mas lembrem-se, uma parte da definição diz que ele deve ser divisível por exatamente dois números naturais. O 1 é divisível por apenas um número natural, só pelo 1. Então, o 1, embora parecendo ilógico, não é primo. O 1 não é primo. Vamos continuar com o 2. O 2 é divisível por 1 e por 2, e por nenhum outro número natural. Parece que cumpre as nossas condições, 2 é divisível por exatamente dois números naturais: Por si mesmo, que está aqui, e pelo 1. Sendo assim, 2 é primo. Vou botar os números primos em um círculo. É melhor fazer isso com outra cor, porque esta já usei. Vou botar os primos em um círculo. Agora o 3. O 2 é interessante porque é o único número par que é primo. Se vocês não sabem, qualquer outro número par também vai ser divisível por 2. Ou seja, por números além do 1 e dele mesmo, então, não vai ser primo. Vamos falar um pouco mais sobre isso em outros vídeos. Vejamos o 3. O 3 com certeza é divisível por 1 e por 3, e não se pode dividir por nenhum outro número entre eles. Não é divisível por 2, então, 3 também é número primo. Vejamos o 4, vou usar outra cor. O 4 com certeza é divisível por 1 e por 4, mas também é divisível por 2: 2 vezes 2 dá 4. Também é divisível por 2. É divisível por três números naturais: 1, 2 e 4. Então, não cumpre as nossas condições para ser primo. Vejamos o 5. O 5 com toda certeza é divisível por 1. Não é divisível por 2, nem por 3, nem por 4. Eu até poderia dividir pelo 4, mas ia sobrar um resto. E é divisível por 5, obviamente. Outra vez, é divisível por dois números naturais: 1 e 5. Portanto, o 5 é primo. Vamos continuar só para ver se existe algum tipo de padrão aqui. Provavelmente vamos fazer um muito difícil, daqueles que sempre confundem a cabeça das pessoas. Vamos continuar com 6. Ele é divisível por 1, por 2, por 3, por 4… não, nem pelo 5, mas é divisível por 6. Tem quatro fatores de números naturais, podemos dizer assim. Não se pode dividir por exatamente dois números, são quatro. Sendo assim, ele não é primo. Vejamos agora o 7. O 7 é divisível por 1, por 2, não, nem por 3, nem por 4, nem por 5, nem por 6, mas é divisível por 7. Então, o 7 é primo. Acho que vocês entenderam a ideia geral. Quantos números naturais, como 1, 2, 3, 4, 5… números que aprenderam quando eram crianças, sem incluir zero, nem números negativos, nem frações, nem nenhum número racional nem decimal e todo o resto, somente números inteiros positivos. Se só possui dois divisores, 1 e ele mesmo, então, é primo. Da maneira como penso, se não incluirmos o caso especial do 1, os números primos são como os tijolos dos números, não podem ser quebrados mais, são como os átomos, que pensavam que era uma coisa que não podia ser dividida, mas agora sabemos que podem sim e, caso vocês não saibam, podem criar uma explosão nuclear. É a mesma ideia com os números primos na teoria. E como os números primos não são só teoria, sabemos que não podem mais ser produtos de números naturais menores. Sobre números como o 6, poderíamos dizer que o 6 é 2 vezes 3. Ele pode ser dividido, e notem, não pode ser um produto de outros números primos. Nós o dividimos em todas as suas partes. O 7 não pode ser dividido, a única coisa que se pode dizer é que o 7 é igual a 1 vezes 7. E neste caso, não se dividiu muito, só tem o 7 de novo. O 6 pode ser dividido, o 4 pode ser dividido como 2 vezes 2. Agora que já entendemos isso, vamos pensar em números maiores. Vamos considerar se esses números maiores são primos. Vamos tentar com… o 16. Está claro que qualquer número é divisível por 1 e por si mesmo. Qualquer número natural que colocarmos aqui vai ser divisível por 1 e por si mesmo. Sempre começamos com o 2, e se encontrarem qualquer outro número que possa ser divisível por este, saibam que não é primo. O 16 podemos ter 2 vezes 8 e também 4 vezes 4. Possui vários fatores além do 1 e do 16, então não é primo. E o 17? Com certeza pode ser dividido por 1 e 17, não pode ser por 2, nem por 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… nenhum desses números. O 17 não pode ser dividido por nada entre 1 e 17. O 17 é primo. O 17 é primo. Agora vou dar um difícil, esse pode confundir muitas pessoas, o 51. O 51 é primo? Será que o 51 é primo? Se quiserem, podem dar pausa no vídeo neste momento e tentar verificar por vocês mesmos se 51 é número primo, se podem encontrar qualquer número além de 1 e 51 pelo qual possam dividir o 51. Puxa, que número estranho. Vocês poderiam tentar dizer que ele é primo, mas agora vou dar a resposta: Ele não é primo, porque também é divisível por 3 e 17. 3 vezes 17 dá 51. Espero que isso dê uma boa ideia do que são os números primos. E espero poder dar mais problemas a vocês para que pratiquem em outros vídeos ou talvez alguns de nossos exercícios.