Exercícios preparatórios para exponenciação

RKA1C — Oi, Sal! — Oi, Brit! — Como vai? — Tudo bem! Parece que nós temos um jogo rolando por aqui. — Não é bem um jogo, é mais ou menos um desafio para você: a ideia é colocar um grãozinho de arroz ali no primeiro quadrado... — Beleza! — Tem 64 quadradinhos neste tabuleiro e, a cada quadradinho consecutivo, eu dobro a quantidade de arroz. Qual a quantidade de arroz você acha que vai ter neste quadradinho aqui? — Neste aqui... Bom, deixa eu pensar um pouquinho, pegar um pedaço de papel. Aqui eu tenho 1 e multiplico por 2, então isso vai ser 2 vezes 2... Não, espera, estou fazendo errado! É 2 vezes 1. Aqui, sim, 2 vezes 2... E este aqui é 2 vezes aquele outro. A gente vai ter um monte de 2 a partir de agora, né? A gente tem uma porção de número 2 sendo multiplicados uns pelos outros. Então é 2 vezes 2, vezes 2. Agora, este aqui vai ser cinco números 2 multiplicados entre si. Aqui, vou ter seis 2 multiplicados entre si, aqui sete 2 multiplicados entre si, oito 2 multiplicados entre si, nove 2... dez, onze, doze... Então, aqui eu vou ter treze 2 multiplicados entre si, e o resultado disso é 8.192 grãos de arroz neste quadrado aqui. Bom, ontem à noite, eu fiquei acordado até tarde.... está aqui. — Você realmente contou essa quantidade toda de arroz? — Mais ou menos. — Ok, se você está dizendo... Agora digamos que você vá 4 casas adiante, quantos grãos de arroz vamos ter aqui? — Bom, 4 passos adiante... Vou multiplicar por 2, depois multiplico por 2 de novo, multiplico por 2 de novo e por 2 de novo. Então, vou fazer 2 vezes 2, que dá 4, vezes 2 dá 8, vezes 2, 16. Então, isso aqui vai ter mais ou menos 130.000 grãos de arroz. Na verdade, 131.072 grãos de arroz. — Parece que você teve muito tempo ontem à noite. — Nós não estamos nem na metade desse tabuleiro, e isso aqui é muito arroz mesmo. Você pode até dar uma festa com esse arroz! — E quanto a este último quadradinho? São 63 passos. — Nós vamos fazer 2 vezes 2, e seguimos adiante: sessenta e três vezes o 2 se repete ali. — Então, isso aqui vai dar um número gigantesco, não sei nem se tem uma notação para isso. Bom, não contei essa quantidade, mas é do tamanho do Monte Everest e conseguiria alimentar mais de 400 trilhões de pessoas. — Agora, deixa eu fazer uma pergunta: foi um pouco complexo ficar escrevendo esse monte de 2, né? Se eu fosse da comunidade matemática, iria preferir um tipo de notação para esses números. Você poderia fazer desse jeito aí, gostei desses pontinhos, do 63 ali em cima... Eu entendi isso aí, ficou interessante! Mas ainda acho um pouco demais. — E se, em vez disso aqui, eu escrevesse... — Os matemáticos adoram ser eficientes, parece que eles são um pouco preguiçosos. — Na verdade, eles têm coisas para fazer, né? Muitas vezes eles têm que ficar em casa contando grãos de arroz... Agora sim, parece que consegui representar aqueles sessenta e três 2 se multiplicando entre si. — Isto é o nosso primeiro quadradinho naquele tabuleiro: nós temos um grão de arroz aqui, eu dobrei e virou 2 grãos. E ali tem 4... Eu estava pensando, isto aqui é muito similar ao que a gente estava fazendo. Só está representado de maneira diferente. — Isto aqui, na verdade, que eu estava fazendo... Cada vez que a gente coloca ali 2 palitinhos de picolé, eles estão se ramificando. Então, 1 palitinho virou 2 palitinhos, e você segue fazendo isso: 1 vira 2, depois 1 vira 2 de novo, e cada um desses se ramifica em outros dois. Então, eu tenho 2 vezes 2, que vai dar igual a 4. 4 palitinhos de picolé, olha aí! E a cada nova ramificação, eu vou multiplicar por 2 novamente. — Então, basicamente, eu continuo ramificando exatamente como uma árvore faz, né? Agora eu consigo realmente ver o que a potência de 2 faz! — E aqui a gente tem 1 vezes 2, vezes 2, vezes 2, que vai ser a mesma coisa de 2³. — Quando eu vejo 2 elevado a potência de alguma coisa, digamos "n", o "n" pode ser exatamente o número de passos que eu dou nessa árvore! Eu posso pensar dessa maneira. — Sim, claro! Uma das maneiras de pensar nisso é se perguntar em quantas vezes se ramifica. Esse pedaço de árvore aí é mais interessante. — Não sei se isso aqui serve para fazer a contagem porque cada pedaço se ramifica 4 vezes, portanto, em cada ramo temos 4 novos ramos. — Bom, por que não? Só é diferente, não vai ser 2 ali. Então, o primeiro ramo, a gente não ramificou ainda... então vou ter 4⁰. Não temos ramificações ainda. Isto se ramificou uma vez, então agora tenho 4¹. Eu tenho 4 ramos, cada um deles se ramificou novamente. E agora nós ramificamos 2 vezes, então eu tenho 4². Vamos chamar isto aqui de base, esse 4 aqui é a nossa base. Isso representa cada nova ramificação que cada ramo anterior está fazendo. Por exemplo: aqui não tem nenhuma ramificação ainda, aqui ramificou uma vez, ali ramificou a segunda vez... — Isso é muito interessante! Por exemplo, quando olho para uma árvore, vejo aqueles milhares de folhas em apenas um único tronco. E quando você olha para dentro da árvore, vê um monte de ramificação, e cada ramificação acontece 3, 4 vezes... Isso mostra a força do crescimento exponencial! — É isso aí!