A fórmula de Bhaskara

RKA - Nesse vídeo, eu vou apresentar uma das cinco fórmulas mais úteis da matemática. Se já viu vários vídeos meus, sabe que eu não sou fã de decoreba, mas recomendo que memorize esta fórmula, com a ressalva de que também lembre como deve prová-la (porque eu não quero que decore sem saber o porquê). Dito isso, vou mostrar do que estou falando: é a fórmula de Bhaskara. Ela serve para encontrar os valores das raízes ou dos zeros de equações de segundo grau. Vamos falar em termos gerais; depois, vou mostrar alguns exemplos. Digamos que tenha a seguinte equação: "ax² + bx + c = 0". Você deve reconhecer que é uma equação de segundo grau onde "a", "b" e "c" são: "a" é o coeficiente do termo "x²", ou do termo de segundo grau; "b" é o coeficiente do termo "x"; e "c" é o coeficiente do termo constante. Com uma equação geral do segundo grau como esta, a fórmula de Bhaskara diz que as soluções para ela são: "x" é igual a "-b" mais ou menos a "raiz quadrada de b² - 4ac", tudo isso sobre "2a". Eu sei que parece loucura e muito difícil de decorar, mas com a prática você vai ver que é uma fórmula razoável para ser decorada. E pode estar se perguntando de onde veio essa fórmula. No próximo vídeo eu vou mostrar isso; antes, eu quero que se acostumem a usá-la. Ela surgiu para completar o quadrado nesta equação aqui. Completando o quadrado, vamos obter esta solução que é a fórmula de Bhaskara. Vamos aplicá-la a alguns problemas. Para começar com algo simples, só para verificar que a resposta é a mesma, digamos que "x² + 4x - 21 = 0". Então, nesta situação... (eu vou mudar de cor)... "a" é igual a 1... "a" é igual a 1, certo? O coeficiente do termo "x²" é 1; "b" é igual a 4 (o coeficiente no termo "x"); e "c" é igual a -21 (o termo constante). Vamos transportar para a fórmula. O que teremos? Vamos ter que: "x" vai ser igual a "-b"... "-b" é -4... ponho o sinal de negativo na frente... "-b" mais ou menos a raiz quadrada de "b²"... "b²" ao quadrado é 16, certo? 4² dá 16.... -4 vezes "a", que dá 1... vezes "c", que é -21. Então, colocamos um 21 aqui, e o sinal de negativo vai ser anulado. Como é a primeira vez que estamos fazendo, eu não vou pular etapas. -21 (só para ver como fica)... e tudo isso sobre 2 vezes "a"... "a" é 1; então, tudo isso sobre 2. Como simplificamos isto? Ficamos com: "x" igual a -4 mais ou menos a raiz quadrada de...? Tem negativo vezes negativo, o que nos dá um positivo, e tem 16 mais... vejamos, 4 vezes 1 dá 4, vezes 21 dá 84; 16 mais 84 dá 100 (legal, um belo quadrado perfeito)... tudo isso sobre 2. E vai ser igual a "(-4 ± 10)/2" Dá para dividir esses dois termos por 2 agora. Então, isto é igual a -4 dividido por 2, que dá -2... ±10 dividido por 2, que dá 5. Isso nos diz que "x" pode ser igual a "-2 + 5", que dá 3; ou "x" pode ser igual a "-2 - 5", que dá -7. A fórmula parece ter dado uma resposta. Dá para confirmar substituindo de volta para ver que funciona, ou tentar faturar. Faturar não, "fatorar". Pelo amor de Deus! Vamos tentar "fatorar". Quais são os dois números cujo produto dá -21 e cuja soma dá 4? "(x + 7) ‧ (x - 3) = -21"; 7 vezes -3 dá -21. 7 menos 3 dá 4, e daria "x" mais... Perdão, não é -21; é igual a zero. Deveria haver um zero aqui. "x + 7 = 0" ou "x - 3 = 0". "x" pode ser igual a -7 ou "x" pode ser igual a 3. A resposta é a mesma pela fatoração e você se pergunta: "então, por que decorar isso?" Devemos decorar a fórmula porque ela também funciona com problemas difíceis de fatorar. Agora, vamos fazer alguns problemas difíceis de fatorar. Vou abrir mais espaço aqui embaixo e reescrever a fórmula para quem ainda não decorou. x é igual a "-b" mais ou menos a "raiz quadrada de b² - 4ac", tudo sobre "2a". Vou aplicar em outro problema. Digamos que tem a equação "3x² + 6x = -10". Primeiro, queremos que todos os termos fiquem do lado esquerdo. Dá para somar 10 aos dois lados da equação; ficamos com "3x² + 6x + 10 = 0". Agora, podemos usar a fórmula de Bhaskara. Vamos aplicá-la aqui. "a" é igual a 3. Isto é "a". Isto é "b", e isto aqui é "c". A fórmula de Bhaskara nos dá as soluções para esta equação (as raízes desta função de segundo grau, digamos assim). "x" é igual a "-b"... "b" é 6, então temos -6... mais ou menos a raiz quadrada de "b²"... b" é 6, então 6²... menos 4 vezes "a", que é 3... vezes "c", que é 10... (vou esticar o radical um pouco)... tudo isso sobre 2 vezes "a" (2 vezes 3). "x" é igual a -6 mais ou menos a raiz quadrada de 36 menos... (interessante!)... menos 4 vezes 3 vezes 10. Então, dá menos... (deixa eu ver)... 4 vezes 3 vezes 10 dá 120... menos 120... tudo sobre 6. Isso é interessante, e já deve ter percebido por quê. Como simplificamos isso? "36 - 120" dá o quê? Dá 84 (deixa eu ver se é isso mesmo: 120 menos 36... isso vira 10... isso vira 11... isso é um 4, dá... 84). E isso vai ser igual a -6 mais ou menos a raiz quadrada... não de 84, porque não é 120 menos 36, é 36 menos 120... vai ser -84, tudo isso sobre 6. E você: "mas que loucura! Que fórmula maluca é essa que você está ensinando? É inútil! Ela me deu a raiz quadrada de um número negativo! Não deu resposta nenhuma!" Ela não deu uma resposta, pelo menos não que queira, porque esse problema não tem soluções reais. No futuro, eu vou introduzir uma coisa chamada "número imaginário", que é a raiz quadrada de um número negativo. Aí, vamos poder expressar o resultado com esses números. Portanto, isto tem soluções, mas elas envolvem números imaginários. Não tem soluções reais. É a raiz quadrada de um número negativo. Se "b² - 4ac", se esse termo é negativo, não teremos soluções reais. Vamos verificar, vamos pegar a calculadora e marcar a equação aqui. Chamo os gráficos. Isto é o que eu fiz antes. Deixa eu zerar isso... "3x² + 6x + 10". Vamos ver onde esta equação cruza o eixo "x". Onde ela é igual a zero? Vou representar graficamente. Repare: a parábola desce e depois sobe. Seu vértice está acima do eixo "x" e abre para cima. Ela nunca passa pelo eixo "x"; então em nenhum ponto esta função será igual a zero; em nenhum ponto, "y" será igual a zero neste plano. De novo, a fórmula de Bhaskara parece funcionar. Vamos fazer mais um exemplo. Exemplos nunca são demais, e eu vou fazer alguns que não sejam tão óbvios de se fatorar. Digamos "-3x² + 12x + 1 = 0". Agora, vamos tentar fazer sem olhar a fórmula. Os valores de "x" que vão satisfazer esta equação serão: "-b", isto é "b"; então, "-b" é -12... mais ou menos a raiz quadrada de "b²" (de 144)... menos 4 vezes "a", que é -3... vezes "c", que é 1... tudo sobre 2 vezes "a" (ou 2 vezes -3). Então, tudo isso sobre -6. Vai ser igual a -12... mais ou menos a raiz quadrada... o que é isso? Negativo vezes negativo se anulam... tenho "144 + 12", que dá 156, correto? Tenho 144 + 12, tudo sobre -6. Imagino que possa simplificar este 156. Podemos tirar alguma coisa do radical. Vamos tentar fazer isso. Vamos fazer uma fatoração em números primos de 156. Às vezes essa é a parte mais difícil: simplificar o radical. 156 é a mesma coisa que 2 vezes 78; 78 é o mesmo que 2 vezes o quê? 2 vezes 39. Então, a raiz quadrada de 156 é igual à raiz quadrada de 2 vezes 2 vezes 39; ou pode falar que é a raiz quadrada de 2 vezes 2 vezes a raiz quadrada de 39. Isso, claro, vai ser a raiz quadrada de 4, ou a raiz quadrada de 2 vezes 2, que é 2... 2 raiz quadrada de 39. Deixa eu ver se fiz direito... vejamos: 4 vezes 39... é, parece certo. Isso vira -12 mais ou menos 2 vezes a raiz quadrada de 39, tudo sobre -6. Agora, a gente pode dividir o numerador e o denominador por 2; e vai ser igual a -6 mais ou menos a "raiz quadrada de 39" sobre -3. Ou podemos separar esses dois termos. Dá para dizer que isto é igual a -6/-3, mais ou menos a "raiz quadrada de 39" sobre -3. Isso aqui é 2, certo? Eles se anulam, 6 dividido por 3 dá 2 e ficamos com 2. Reparem! Se aqui é positivo e usamos esse negativo, o positivo vira negativo e o negativo vira positivo. Mas não importa: a gente diz "menos ou mais", que é o mesmo que "mais ou menos" a "raiz quadrada de 39" sobre 3. É a resposta mais simplificada que a gente pode encontrar. Quero deixar claro o que fiz na última parte. Não me esqueci deste sinal de negativo: eu só disse que não importa, ele vai transformar o positivo no negativo e o negativo no positivo. Vou reescrever: isso aqui pode ser reescrito como 2 mais a "raiz quadrada de 39" sobre -3, ou 2 menos "a raiz quadrada de 39" sobre -3. O "mais ou menos" significa que pode ser os dois. Nesta situação, esse -3 vai virar 2 menos a "raiz quadrada de 39" sobre 3. Só estou tirando o negativo. Aqui, negativo e negativo viram positivo e fica com 2 mais a "raiz quadrada de 3" sobre 3, certo? Negativo vezes negativo dá positivo. De novo, tem 2 mais ou menos a "raiz quadrada de 39" sobre 3. 2 mais ou menos a "raiz quadrada de 39" sobre 3 são soluções para esta equação. Vamos verificar. Estou curioso para ver como fica. Vamos representar. Deixa eu limpar isto. Cadê o botão? Tem: "-3x² + 12x + 1", e vamos representar graficamente, vamos ver onde ela cruza o eixo "x". Ela sobe e depois desce de novo. Vejamos... a raiz quadrada de 39 vai ser um pouco mais que 6, certo? Porque 36 é 6², então um pouco mais que 6; então isso vai ser um pouco mais que 2, um pouco mais que 6 dividido por 3 é um pouco mais que 2. Teremos um valor um pouco maior que 4 e outro valor um pouco menor que 1. E parece ser o caso. Um, dois, três, quatro: tem um valor bem próximo de 4, e outro valor que parece mais próximo de zero, mas é um pouco menor. Espero que tenha achado essa aplicação da fórmula de Bhaskara bastante útil. Afinal, usaremos várias vezes.