Introdução à equação geral da reta

RKA - Nós já vimos aqui, em outras aulas, diversas maneiras de como escrever uma equação para uma reta. Por exemplo, eu poderia escrever esta reta aqui, na sua equação reduzida. Então aqui, eu posso colocar a equação reduzida da reta, vou colocar só equação reduzida aqui. Qual seria a equação reduzida da reta? É naquele formato que você já conhece bem, y é igual a mx + b, onde esse m aqui é a inclinação da reta, inclinação, coeficiente angular. E o "b"? O "b" é o ponto onde a reta vai cortar o eixo do y, então é onde intercepta o eixo do y, vou colocar y intercepta. Só que eu não tenho apenas essa forma de escrever a equação da reta. Eu posso escrever a reta também em um outro tipo de equação, que eu vou denominar aqui de equação fundamental da reta, vou colocar aqui: equação fundamental. Qual vai ser a equação fundamental da reta? Digamos que eu saiba qual é a inclinação da reta, digamos que a inclinação da nossa reta seja igual a "m". Digamos que eu também saiba um ponto que satisfaça a equação. Esse ponto tem o x igual a "a" e o y igual a "b". Então, esse ponto aqui, onde x é igual a "a" e y igual a "b", satisfaz essa equação. Logo, eu posso escrever a equação fundamental da reta, da seguinte maneira: eu posso colocar y - b igual a "m", que é a inclinação, que multiplica x - a, e, dessa forma, eu tenho aqui a equação fundamental da reta. Mas, eu não tenho apenas essa também, eu tenho mais uma aqui, que vai ser a equação geral da reta. Vamos lá: equação geral da reta. Como é a equação geral da reta então? Ela tem o seguinte formato: Ax + By, igual a um determinado número "C". Então, por exemplo, digamos que eu queira escrever na equação geral da reta da seguinte maneira, vou colocar aqui 9x + 16y igual a 72, por exemplo. Então, essa reta está escrita na sua forma geral. Uma das coisas que é bem interessante aqui na equação geral da reta é que ela é mais fácil para a gente visualizar aqui, onde o gráfico, a nossa reta vai interceptar o eixo do y e o eixo do x. Aqui, na equação reduzida da reta, é muito fácil determinarmos onde a reta corta o eixo do y, que é o valor do "b". Só que não é tão fácil determinar onde ela corta o eixo do x. Já neste caso aqui, não. Nesse caso, é fácil descobrir os dois. Vou fazer uma tabela aqui para isso, vou colocar uma tabelinha com os valores de x e de y. Como a gente pode perceber, a reta vai cruzar o eixo do x quando o y for igual a zero. E quando a gente substitui aqui, y é igual a zero, esse termo vai embora, eu vou ficar com 9x igual a 72. E aí, basta dividir por 9. Então, o x aqui vai ser igual a quanto? 72 dividido por 9, que dá 8. E essa reta vai cortar o eixo do y quando o x for igual a zero. Então, se o x for igual a zero, esse termo aqui vai embora e eu vou ter 16y igual a 72. Logo, basta efetuar a divisão, 72 dividido por 16, vai me dar o valor do y, que vai ser igual a quanto? Deixe-me fazer a conta. Aqui eu vou ter zero, aqui eu vou ter 16 y igual a 72. Logo, o y vai ser 72 dividido por 16, que vai dar então 4 e meio. Aqui, o y vai ser igual a 4 e meio. Vamos agora localizar esses pontos além do nosso plano cartesiano, para podermos desenhar o gráfico. Eu vou ter aqui o ponto quando y é igual a zero, x é igual a 8. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 também aqui, o gráfico vai passar bem aqui nesse ponto, cortando o eixo do x. E, no y, vai cortar em um ponto 4 e meio. Então, vai ser aqui 1, 2, 3, 4, 5, então está bem no meio aqui, entre o 4 e o 5, vai cortar bem aqui o gráfico. E agora, é muito fácil a gente determinar como é essa reta, porque basta que eu tenha dois pontos para determinar uma reta, a reta vai fazer mais ou menos isso aqui. É um pouco complicado desenhar essa reta, mas vamos lá, vamos tentar. A reta vai ter mais ou menos esse formato, passando por esses dois pontos aqui. Nós temos a nossa reta desenhada a partir da equação geral da reta. Nessa reta aqui, estão contidos todos os pontos que satisfazem a equação 9x + 16y igual a 72. Então, como eu falei aqui, a vantagem da equação geral da reta é que ficou muito fácil determinar onde o gráfico vai interceptar o eixo do x e não foi tão complicado assim determinar onde o gráfico intercepta o eixo do y. Se eu tivesse essa equação aqui escrita na forma reduzida, seria muito fácil determinar onde ele corta o eixo do y, mas não é tão fácil assim determinar onde corta no eixo do x. E aqui, na equação fundamental da reta, nenhum, nem outro, não é nem fácil descobrir o x e nem o y, não pula na sua cara como nessas outras formas aqui. A vantagem que a equação reduzida da reta tem e que a equação fundamental da reta tem, é que você consegue ver, de cara aqui, qual é a inclinação da reta. O valor da tangente ali no caso, que é chamado também de coeficiente angular. Mas perceba, é muito fácil também determinar a inclinação, o valor do m, através da equação geral da reta, porque eu posso muito bem determinar a variação aqui no eixo do x e a variação aqui, no eixo do y. A variação no eixo do x vai ser de -8, de 8 passou para zero, então reduzimos 8. E no eixo do y? Ao mesmo tempo que reduziu 8 no eixo do x, no eixo do y aumentou, então a variação no y aqui vai ser de +4 e meio. E aí eu consigo calcular agora facilmente essa inclinação. A inclinação da reta vai ser igual à variação no eixo do y sobre a variação no eixo do x. Então, vai ser 4 e meio dividido por -8. E quanto que dá isso daqui? Se eu multiplicar o numerador e o denominador por 2, você vai perceber que vai dar aqui 9 sobre -16. Daí você percebe que também não é tão complicado determinar o nosso coeficiente angular, a inclinação na nossa reta a partir da equação geral da reta, como nós fizemos aqui. Como é que eu faço para sair da equação geral da reta e transformar, digamos para a equação reduzida, por exemplo, é onde eu tenho aqui a equação geral que é 9x + 16y igual a 72, eu preciso então isolar o y, para isso eu vou subtrair 9 x aqui em ambos os lados. Nesse lado esquerdo, vai me sobrar 16y e lá do outro lado vai ter o quê? Como eu vou subtrair 9 dos dois lados, então vai ser -9x aqui + 72. Agora, basta que eu divida tudo por 16. Então vou dividir aqui por 16, vou dividir aqui por 16 e aqui também por 16. E agora aqui, quanto que vai dar isso? Vou restar apenas com o y, ali do lado esquerdo, vou isolar o y e aqui vai dar quanto? -9 dividido por 16, que é a nossa inclinação, você percebe que sai de cara aqui, a inclinação, mais 72 dividido por 16, que nós já fizemos aqui, deu 4 e meio. E aí, você percebe aqui que claramente a gente já tem de cara o valor da inclinação da nossa reta, que é o coeficiente angular da reta e aqui, onde a reta vai cortar o eixo do y, está bem aqui de cara 4 e meio. Então vai ser esse ponto aqui. E, portanto, cada equação da reta tem a sua vantagem, a sua desvantagem. Então, nesse vídeo aqui era isso, até o próximo vídeo!