Introdução à semelhança de triângulos.

RKA - Quando comparamos o triângulo ABC ao triângulo XYZ, fica claro que eles não são congruentes, que têm comprimentos laterais bem diferentes. Mas parece existir alguma coisa interessante sobre a relação entre esses dois triângulos. Primeiro, todos os ângulos correspondentes são os mesmos, portanto, esse ângulo aqui, ângulo BAC é congruente ao YXZ, o ângulo BCA é congruente ao YZX, e o ângulo ABC é congruente ao XYZ. Todos os ângulos, os ângulos correspondentes, são os mesmos, e também vemos que as laterais são versões ampliadas umas das outras, o objetivo do comprimento de XZ à AC, a gente pode multiplicar por 3. Multiplicamos por 3, aqui, para ir de XY, do comprimento de XY, ao comprimento de AB, que é o lado correspondente. Estamos multiplicando por 3, temos que multiplicar por 3. Depois, para ir do comprimento de YZ ao comprimento de BC, também multiplicamos por 3. Ou seja, o triângulo ABC é só uma versão ampliada do triângulo XYZ. Se eles tivessem a mesma escala seriam exatamente os mesmos triângulos, mas um só é maior, uma versão aumentada do outro, ou, essa é uma miniatura daquele outro. Se multiplicar todos os lados por 3, vai chegar nesse triângulo. Portanto, não podemos chamá-los de congruentes, mas eles realmente parecem ter uma relação especial, então, podemos chamar essa relação especial de "semelhança". A gente pode dizer que esse triângulo ABC é semelhante ao triângulo, e temos que ter certeza de que acertamos os lados correspondentes, ABC será semelhante ao XYZ. Com base no que acabamos de ver, existem três ideias, e elas são todas formas equivalentes de pensar sobre semelhanças. Uma forma de pensar é que um é uma versão ampliada do outro, uma versão ampliada, ou menor do outro, versões menores. Quando falamos sobre congruência, as medidas dos ângulos precisam ser exatamente as mesmas, você pode girá-lo, mudar de posição, virar ao contrário, mas, depois de fazer tudo isso, elas teriam que continuar idênticas. Com semelhança, você pode girá-lo, mudar de posição, virar ao contrário, e pode aumentar e diminuir para que algo seja semelhante. Por exemplo, se disser que algo é congruente, vou dizer triângulo CDE. Se sabemos que o triângulo CDE é congruente ao triângulo FGH, então sabemos, com certeza, de que eles são semelhantes. Eles estão aumentados por um fator de 1. Com certeza, a gente sabe que o CDE também é semelhante ao triângulo FGH, mas não podemos dizer o contrário. Se o triângulo ABC é semelhante ao XYZ, não podemos dizer que ele é necessariamente congruente, e podemos ver neste exemplo específico que eles com certeza não são congruentes. Essa é uma forma de pensar em semelhança. Outra forma de pensar é que todos os lados correspondentes serão iguais. Se algo é semelhante, todos os ângulos correspondentes serão congruentes. Correspondente, ângulo correspondente, sempre tive dificuldade para soletrar isso, é com dois "r" e um "s", correspondente. Ângulos correspondentes são congruentes. Se dissemos que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo XYZ, é o mesmo que dizer que o ângulo ABC é congruente, ou, podemos dizer que suas medidas são iguais ao ângulo XYZ, que o ângulo BAC será congruente ao ângulo YXZ. Finalmente, o ângulo ACB, será congruente ao ângulo XZY, Se tem dois triângulos e todos os seus lados são iguais, então pode dizer que eles são semelhantes, ou, se encontrar dois triângulos e te disserem que eles são semelhantes, então você já sabe que todos os seus ângulos correspondentes são iguais. Por último, acho que a forma de pensar nisso é que todos os lados são versões ampliadas umas das outras, os lados são dimensionados pela mesma razão de semelhança. Dimensionados pela mesma razão. No exemplo que mostramos aqui, a razão de semelhança era 3, mas não precisa ser 3, só precisa ser a mesma razão de dimensionamento para cada lado. Se esse lado for dimensionado por 3, e só dimensionamos esse lado por 2, então não estaremos lidando com um triângulo semelhante, mas, se dimensionarmos todos os lados por 7, então eles ainda seriam semelhantes, contanto que todos sejam dimensionados, para cima ou para baixo, por, exatamente, a mesma razão de semelhança. Uma forma de pensar nisso é visualizar esses triângulos, deixe eu redesenhá-los aqui, de forma mais simples. Estou falando em termos gerais, não é nem para esse caso específico. Se dissermos que esse é o ABC, e esse aqui é XYZ, só os redesenhei para poder me referir a eles quando escrever aqui. Se estamos dizendo que essas duas coisas aqui são semelhantes, isso significa que os lados correspondentes são versões ampliadas uns dos outros. Podemos dizer que o comprimento de AB, é igual a alguma razão de semelhança, e ela pode ser até menor do que 1, alguma razão de semelhança multiplicada pelo comprimento de XY, os lados correspondentes. E sei que AB corresponde a XY por causa da ordem na qual eu escrevi essa semelhança. Alguma razão de semelhança "K" multiplicada por XY. Sabemos que BC, o comprimento de BC, precisa ter a mesma razão de semelhança, a mesma razão de semelhança "K" multiplicada por YZ, multiplicada pelo comprimento de YZ. Então, essa mesma razão de semelhança. A gente sabe o comprimento de AC, o comprimento de AC será igual à razão de semelhança "K" multiplicada por XZ, é XZ, e ele pode ser uma razão de semelhança. Se ABC for maior que XYZ, então esses "K" serão maiores do que 1, se tiverem exatamente o mesmo tamanho, se forem essencialmente triângulos congruentes, esses "K" serão 1. E se XYZ for maior do que ABC, então esses fatores de dimensionamento serão menores que 1. Essa é outra forma de dizer a mesma coisa, só estou dizendo que lado correspondentes são versões ampliadas uns dos outros. A primeira declaração aqui, se dividir os dois lados por XY, fica com AB sobre XY é igual a nossa razão de semelhança "K". E a segunda afirmação, aqui, se dividir os dois lados por YZ, fica com B, vou usar a mesma cor, tem BC dividido por YZ é igual àquela razão de semelhança "K". Lembra do exemplo que mostramos, em que a razão de semelhança era 3? Mas agora, estamos dizendo de forma mais geral, semelhanças, contanto que tenha a mesma razão de semelhança. Finalmente, se dividir esses dois lados pelo comprimento entre XZ, ou o comprimento do segmento XZ, também tem AC sobre XZ é igual a "K". Também é igual a "K". Outra forma de pensar nisso é a razão entre os lados correspondentes, note que essa é a razão entre AB e XY. AB e XY, a razão entre BC e YZ, a razão entre AC e XZ. A razão entre os lados correspondentes, todos dão a mesma constante. Ou pode reescrever isso como: AB sobre XY é igual à BC sobre YZ, que é igual a AC sobre XZ, que pode ser igual a algum fator de dimensionamento, que é igual a "K". Se tem triângulos similares, deixe eu desenhar uma seta aqui, triângulos semelhantes, quer dizer que eles são versões aumentadas, e também podem virar ao contrário, girar, fazer tudo com congruência, pode aumentá-los ou diminuí-los, mas todos os ângulos correspondentes ainda serão congruentes, o que também significa que a razão entre os lados correspondentes será o mesmo conceito para todos os lados correspondentes, ou, a razão entre os lados correspondentes será constante.