Introdução ao teorema de Pitágoras 2

RKA - Vamos falar agora sobre um dos mais famosos teoremas da matemática: o teorema de Pitágoras. Esse teorema é aplicado em triângulos retângulos. Um triângulo retângulo é um triângulo que tem um ângulo de 90 graus. Nesse desenho que eu fiz aqui, aqui está nosso ângulo de 90 graus. Se [você] nunca viu um ângulo de 90 graus antes, o modo de pensar sobre isso seria esse lado vai reto para a esquerda ou para a direita, e esse lado vai reto para cima ou para baixo. Esses lados são perpendiculares, ou o ângulo entre eles é de 90 graus (ou é um ângulo reto). E o teorema de Pitágoras nos diz que, se estamos lidando com um triângulo retângulo... (deixa eu escrever isso)... se estamos lidando com um triângulo retângulo (e não outro tipo de triângulo... se gente está lidando com um triângulo retângulo, que é um triângulo que tem um ângulo reto ou um ângulo de 90 graus), então, a relação entre seus lados é essa. Esse lado é "a", esse lado é "b", e esse lado é "c". Lembre-se: o "c" com o qual estamos lidando é o lado oposto ao ângulo de 90 graus. É importante manter claro qual lado é qual. O teorema de Pitágoras nos diz que: se, e somente se, esse for um triângulo retângulo, então "a²" mais "b²" será igual a "c²". E podemos usar essa informação: se a gente conhece dois dos lados, podemos então usar este teorema, essa fórmula para calcular o terceiro. Vou te dar mais outra terminologia aqui. Esse lado maior (o lado que tem o maior comprimento em nosso triângulo retângulo), o lado que é oposto ao nosso ângulo reto aqui que é "c", neste exemplo, é chamado de hipotenusa. E os menores lados, nesse caso "a" e "b", são chamados de catetos. Os menores lados, "a" e "b", são chamados de catetos. São palavras estranhas, mas a ideia é muito simples. Agora que conhecemos o teorema de Pitágoras, vamos então começar a usá-lo, porque uma coisa é conhecer algo, mas é bem mais divertido usar esse algo. Vamos dizer, então, que tenho o seguinte triângulo retângulo... (deixa eu desenhar um pouco melhor que isso, né? Esse é um triângulo retângulo)... esse lado aqui tem um comprimento igual a 9, esse lado aqui tem um comprimento igual a 7. Minha pergunta é: quanto é esse lado aqui? Podemos chamá-lo de "c". "c", nesse caso, novamente, é a hipotenusa (é o maior lado). Sabemos que a soma dos quadrados dos outros lados será igual "c²". Então, pelo teorema de Pitágoras, "9²" mais "7²" será igual a "c²". "9²" é 81... mais... "7²" é 49... 80 mais 40 é 120.... Então, teremos "1 + 9", que serão outros 10. Então, isso será igual a 130. Deixa eu escrever desse jeito: o lado esquerdo será igual a 130 e isso é igual a "c²". Quanto será "c"? Deixa eu reescrever isso aqui: "c² = 130", ou poderíamos dizer que "c" é igual à raiz quadrada de 130. E perceba: estou tomando apenas a raiz principal, porque "c" precisa ser positivo; estamos lidando com uma distância, portanto não nos serve a raiz quadrada negativa. Iremos, então, apenas tirar a raiz quadrada principal e, se quisermos simplificar isso um pouco, sabemos como simplificar nossos radicais. 130 é 2 vezes 65, que é 5 vezes 13. Bom, esses todos são números primos, então, isso está tão simplificado quanto poderia estar: "c" é igual à raiz quadrada de 130. Vamos a outro exemplo. Talvez seja melhor manter esse teorema de Pitágoras para que possamos nos lembrar sempre ao que estamos nos referindo. Digamos que eu tenha um triângulo retângulo que seja assim. Muito bem, digamos que tenha essa forma e esse é o ângulo reto aqui. Suponha que esse lado, vou chamá-lo de "a"; esse lado terá um comprimento igual a 21; e esse lado terá um comprimento igual a 35. Seu instinto para calcular poderia ser: bom, "21² + 35² = a²", mas, olha só! Nessa situação, 35 é hipotenusa, 35 é o nosso "c", é o maior lado do nosso triângulo retângulo. O teorema de Pitágoras nos diz que "a²" mais o outro lado que não seja o maior (o outro lado que não é a hipotenusa ao quadrado), então "a² + 21²" será igual a 35². Você precisa se lembrar sempre: o "c²" (o "c" que estamos falando) sempre será o maior lado do nosso triângulo retângulo. Esse lado que está oposto ao nosso ângulo reto. Esse é o lado que está oposto ao nosso ângulo reto, portanto "a² + 21² = 35²". E o que teremos aqui? 21²... (estou tentado a usar uma calculadora, mas não vou)... bom, 21 vezes 21 é... 1 vezes 21 é 21, 2 vezes 21 é 42... é 441. 35²... (mais uma vez estou querendo usar a calculadora, mas não vou)... 35 vezes 35... 5 vezes 5 é 25... sobe o 2... 5 vezes 3 é 15... mais 2, 17. Coloco zero aqui... 3 vezes 5 é 15. 3 vezes 3 é 9... mais 1, 10... é 11... (deixa eu colocar em ordem)... 5 mais 0 é... "5,7"... mais 5 vezes 12... 1 mais 1 é 2... desce o 1... 1.225. Então, isso nos diz que "a²" mais 441 será igual a 35², que é 1.225. Poderíamos subtrair 441 dos dois lados da equação. O lado esquerdo fica "a²"; no lado direito, teremos o quê? Temos "5 - 1", 4, Queremos... (deixa eu escrever isso aqui um pouco melhor)... menos 441. Agora, no lado esquerdo de novo eles se cancelam; "a²" é igual a...? Então, no lado direito, o que temos que fazer? Esse é maior que esse, mas 2 não é maior que 4, então teremos que emprestar. Então, isso fica 12 ou reagrupado, dependendo de como prefere ver isso. Isso fica apenas 1, 1 não é maior que 4; então, teremos que emprestar de novo para nos livrarmos desse. Então, esse vira um 11. 5 menos 1 é 4; 12 menos 4 é 8, 11 menos 4 é 7. Então, "a² = 784", e poderíamos escrever, então, que "a" é igual à raiz quadrada de 784... (e, novamente, estou muito tentado a usar uma calculadora, mas não vamos fazer isso, não vamos usar a calculadora)... então, isso é 2 vezes o quê? 392; e isso... 392 vezes 2 é 784. E isso é 2 vezes o quê? Isso é 2 vezes 196, exatamente. 196 vezes 2 é... isso é 2 vezes 196... 196 é 2 vezes... (quero me certificar de eu que não cometi nenhum erro bobo).... 196 é 2 vezes 98. Vamos continuar aqui. 98 é 2 vezes 49. E, claro, sabemos quanto dá isso. Então, vamos ver, temos 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2, isso é 2⁴. Então, 16 vezes 49. Portanto, "a" é igual à raiz quadrada de "16 vezes 49". Escolhi esses números porque os dois são quadrados perfeitos. Portanto, isso é igual à raiz quadrada de 16, que é 4, vezes a raiz quadrada de 49, que é 7. É igual a 28. Dessa forma, nosso valor aqui será igual a 28 de acordo com o teorema de Pitágoras. Vamos fazer outro exemplo então. Praticar nunca é o bastante! Vamos dizer, então, que eu tenho outro triângulo. Vou desenhar um pouco maior. Pronto! Esse é o meu triângulo. Esse é o ângulo reto; esse lado vale 24; esse vale 12; chamaremos esse lado aqui de "b". De novo, sempre identifique a hipotenusa! Esse é o maior lado, o lado oposto ao ângulo de 90°. Poderia dizer: "eu não sei que esse é o maior lado, eu não sei quanto 'b' é ainda. Como posso saber que esse é o maior?" Então, nessa situação você diz que "bom, é o lado oposto ao ângulo de 90 graus". Então, se essa é a hipotenusa, então isso ao quadrado mais isso ao quadrado será igual a 24². Portanto o teorema de Pitágoras: "b² + 12² = 24²", ou poderíamos subtrair 12² dos dois lados. Digamos, "b² = 24² - 12²" (que sabemos que é 144), e que "b" é igual à raiz quadrada de "24² - 12²". Agora, estou tentado a utilizar uma calculadora e... vou ceder à tentação. Então, vamos lá! Nesse último foi meio complicado; ainda estou me recuperando. "24² - 12²" é igual a 432. Então, isso na verdade fica... deixa eu fazer sem... bom, eu vou fazer até metade. "24² - 12² = 432"; então, "b" é igual à raiz quadrada de 432. E vamos fatorar de novo. Vimos qual era a resposta, mas talvez possamos escrevê-la num tipo de forma de radical simplificado. Então, isso é 2 vezes 216. 216, eu acho que... deixa eu ver, acredito que é um quadrado perfeito... deixa eu tirar a raiz de 216. Não, não é um quadrado perfeito. Portanto, 216; vamos continuar. 216 é 2 vezes 108. 108 é... a gente pode dizer 4 vezes quanto? 25 mais outros 2... 4 vezes 27 (que é 9 vezes 3). Então, o que temos aqui? Temos 2 vezes 2 vezes 4, portanto isso aqui é 16. 16 vezes 9 vezes 3, está certo? Estou usando uma calculadora diferente. 16 vezes 9 vezes 3 é igual a 432. Então, isso será igual a "b" que é igual à raiz quadrada de "16 vezes 9 vezes 3", que é igual à raiz quadrada de 16 (que é 4) vezes a raiz quadrada de 9 (que é 3) vezes a raiz quadrada de 3... que é igual a "12 raiz de 3". Portanto "b" é 12 vezes a raiz quadrada de 3. Espero que tenha sido útil.