Inequações em várias etapas

RKA- Vamos fazer mais alguns exercícios que juntam os conceitos que aprendemos nos dois últimos vídeos. Digamos que tenha a desigualdade "4x + 3 < -1". Vamos achar todos os "x" que satisfazem isso. Vamos primeiro tirar esse 3; vamos subtrair 3 dos dois lados dessa equação. O lado esquerdo vai acabar sendo "4x"; esses 3 se cancelam, e ficamos com um zero. Não tem motivo para mudar a desigualdade; estamos somente somando e subtraindo dos dois lados (nesse caso, subtraindo). Isso não muda a desigualdade, contanto que estamos subtraindo o mesmo valor. Tem "-1 - 3"; isso é igual a -4. -1 menos 3 dá -4. Agora queremos... vejamos... pode dividir os dois lados dessa equação por 4. Mais uma vez, quando multiplica ou divide os dois lados de uma desigualdade por um número positivo, não muda a desigualdade. Então, o lado esquerdo é só "x"... "x" é menor que... -4 (negativo) dividido por 4 é -1... "x < -1", ou pode escrever no intervalo: todos os "x" do infinito negativo até o -1, mas sem incluir o -1. Então, colocamos um parêntese bem aqui. Vamos fazer um um pouco mais difícil. Digamos que tem "5x > 8x + 27". Vamos colocar todos os "x" no lado esquerdo; e a melhor forma de fazer é subtrair "8x" dos dois lados. O lado esquerdo fica "5x - 8x"... isso dá "-3x". Ainda tem um sinal maior, só estamos somando ou subtraindo as mesmas quantidades. Esses "8x" se cancelam e tem 27. Você tem "-3x > 27". Agora, para tornar isso em "x", vamos dividir os dois lados por -3. Mas lembre-se: quando multiplica ou divide os dois lados de uma desigualdade por um número negativo, você inverte a desigualdade. Se dividimos os dois lados disso por -3, tem que trocar essa desigualdade. Vai passar de um sinal "maior" para um sinal "menor". E, se não me falha a memória, o sinal maior do lado esquerdo só fica maior. Isto é maior; se imaginar essa altura... essa altura é maior que essa altura, que é só um ponto. Eu não sei se te confundi ou não; isso é menor. Esse pequeno ponto é menor que a distância daquela grande abertura (é assim que eu me lembro). Mas, em todo caso, "3x/-3". Agora, dividimos os dois lados por um número negativo, por "- 3", e trocamos a desigualdade de "maior que" para "menor que". E, no lado esquerdo, os -3 se cancelam... você tem "x < 27/- 3", o que dá "-9"; ou, no intervalo, seria tudo desde o infinito negativo até o -9 (não incluindo o -9). Se quisesse fazer como uma reta numérica, faria assim: isso seria -9... talvez seria -8... talvez -10... você começaria com -9 (não incluindo o 9, porque não tem o sinal de igual aqui) e vai tudo menor que isso até o fim, como vemos, até "menos infinito". Vamos fazer um problema cabeludo. Digamos que tem "8x - 5(4x + 1) ≥ -1 + 2(4x - 3)". Pode parecer um bom desafio, mas, se simplificar passo a passo, vai ver que não é mais difícil do que nenhum dos outros problemas que a gente já resolveu. Então, vamos simplificar. Você pega "8x menos"... vamos distribuir esse -5... Vamos pegar "8x" e distribuir o -5. -5 vezes "4x" dá "-20x". -5... quando digo -5, estou falando de tudo isso... -5 vezes 1 dá -5... e isso será maior ou igual a -1 mais... 2 vezes "4x" dá "8x"... 2 vezes -3 dá - 6. Agora, podemos juntar esses dois termos, "8x - 20x" dá "-12x"... menos 5... é maior que ou igual a... dá para juntar essas constantes, "-1 - 6" dá -7, e tem "+8x" sobrando. Eu gosto de ter todos os "x" do lado esquerdo, então vamos subtrair "8x" dos dois lados da equação... subtraindo "8x"... esse lado esquerdo... -12 menos 8 dá -20... "-20x - 5". Mais uma vez, não tem motivo para mudar a desigualdade, só estamos simplificando os lados, ou somando e subtraindo. O lado direito fica... isso aqui se cancela: "8x - 8x" dá zero. Então, tem -7. Agora, quero me livrar desse -5; vamos somar 5 dos dois lados da equação. Do lado esquerdo, tem "-20x"... esses 5 se cancelam. Não precisamos mudar a desigualdade ainda. "-7 + 5" dá -2. Agora, está ficando interessante! Tem "-20x ≥ -2". Se fosse uma equação ou qualquer tipo de desigualdade, queremos dividir os dois lados por -20, mas devemos nos lembrar: quando multiplica ou divide os dois lados de uma desigualdade por um número negativo, tem que inverter a desigualdade. Se dividir esse lado por -20 e dividimos esse lado por -20... eu só peguei os dois lados, dividi por -20... tem que mudar a desigualdade. O "maior ou igual" tem que ser um sinal de "menor ou igual"; e, claro, esses se cancelam, e você tem "x" é menor ou igual a... os sinais negativos se cancelam; e, simplificando, 2/20 é igual a 1/10. Se estivesse escrevendo num intervalo, o limite superior seria 1/10. Perceba que estamos incluindo, porque tem um sinal "menor que ou igual" ; então, estamos incluindo 1/10, e vamos chegar até o "menos infinito"; tudo menor ou igual a 1/10. Isso é somente uma outra forma de escrever. Só como diversão vamos desenhar a reta numérica. Vamos desenhar a reta numérica aqui, aqui pode ser o "0"... o "1"... "1/10" pode estar aqui... tudo "menor que ou igual a" 1/10. Então, vamos incluir o 1/10 e tudo o que for "menor que" está incluído no conjunto solução. E pode tentar com qualquer valor menor que 1/10, e vai verificar que satisfaz esta desigualdade.