Como resolver proporções complicadas

RKA - Temos a proporção "x - 9" sobre 12 é igual a 2/3, e queremos encontrar o valor de "x" que satisfaça essa proporção. Há diversas formas de fazer isso. Muitas pessoas, logo que veem uma proporção como essa, querem fazer a multiplicação em cruz; querem dizer que 3 vezes "x - 9" será igual a 12 vezes 2. E isso é completamente legítimo. Você obteria... deixa eu escrever... 3 vezes "x - 9"... 3 vezes "x - 9" é igual a 2 vezes 12, seria igual a 2 vezes 12. Poderia distribuir o 3 e obteria "3x - 27" é igual a 24; e somar 27 dos dois lados, obtendo... deixa eu fazer isso... somando 27, aos dois lados ficamos com "3x" é igual a... igual a... 51. Portanto, "x" seria igual a 17. Você pode verificar que isso funciona: 17 menos 9 é 8. 8/12 é o mesmo que 2/3, então confere. Outra forma de fazer isso, ao invés de fazer a multiplicação cruzada, poderia dizer: "Ah, eu quero me livrar do 12 no denominador bem aqui. Vamos multiplicar os dois lados por 12". Se multiplicar os dois lados por 12, do lado esquerdo, você obtém "x - 9"; e, do lado direito, você obtém 2/3 vezes 12. Bom, 2/3 de 12 é 8. Pode fazer essa multiplicação: 2/3 vezes 12/1. 12 e 3... 12 dividido por 3 é 4; 3 dividido por 3 é 1, então fica 2 vezes 4/1, que é 8. Agora, somando 9 aos dois lados. A diversão da álgebra é que, desde que faça algo logicamente consistente, você vai ter a resposta certa. Não há um único jeito de fazer. Aqui você obtém "x = 17" de novo. E também multiplicam os dois lados por 12 e os dois lados por 3, seria funcionalmente equivalente à multiplicação cruzada. Vamos fazer mais um. Aqui, outra proporção. Desta vez o "x" está no denominador. Mas como antes, se a gente quiser, podemos fazer a multiplicação cruzada. Para vermos de onde vem a multiplicação cruzada, não é bruxaria, ainda é lógica algébrica. Você está fazendo a mesma coisa aos dois lados da equação. Precisa apenas compreender que estamos multiplicando os dois lados pelos dois denominadores. A gente tem esse 8 aqui, do lado esquerdo. Se quisermos eliminar esse 8 do denominador esquerdo, podemos multiplicar o lado esquerdo por 8. Mas, para que a igualdade permaneça, não posso fazer algo apenas de um lado; tenho que fazer do outro lado também. De forma semelhante, se quiser eliminar esse "x + 1" do denominador, posso multiplicar por "x" + 1 aqui. Mas tenho que fazer isso dos dois lados para manter a verdade da igualdade. Observe que, quando faz o que acabamos de fazer, será equivalente à multiplicação cruzada; porque esses 8 se cancelam, e esse "x + 1" cancela esse outro "x + 1" ali. E você obtém "x + 1" vezes 7. Posso escrever "7 ‧ (x + 1) = (5) ‧ (8)". Note que é exatamente o que teria obtido com a multiplicação cruzada. A multiplicação cruzada é apenas um atalho de multiplicar os dois lados pelos dois denominadores. Temos "7 ‧ (x + 1) = (5) ‧ (8)". Agora, podemos resolver a álgebra. Distribuindo o 7, obtemos: "7x + 7" é igual a 40. Subtraindo 7 dos dois lados (vamos subtrair 7 dos dois lados), obtemos: "7x = 33". Dividindo os dois lados por 7, a gente obtém "x = 33/7". Se a gente quiser escrever isso como um número misto, isso será o mesmo que... será o mesmo que "4 ⁵∕₇". E acabou!