fatore usando a diferença de dois termos ou trinomio quadrado perfeito: 25x^2-10x+1

(5x-1)² pois 5²=25, 2.(5x-1)=-10x e -1²=1

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Álgebra básica

Curso: Álgebra básica > Unidade 7

Lição 8: Fatoração de expressões de segundo grau: quadrados perfeitos

Fatoração de expressões de segundo grau em qualquer forma

Reúna tudo o que aprendeu sobre a fatoração de expressões de segundo grau para fatorar diversas expressões de segundo grau em qualquer forma.

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Os seguintes métodos de fatoração serão utilizados nessa lição:

O que você vai aprender nessa lição

Neste artigo, você vai praticar o uso combinado desses métodos para fatorar completamente expressões de segundo grau em qualquer forma.

Introdução: revisão dos métodos de fatoração

Método	Exemplo	Quando é aplicável?
Fator comum em evidência	$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x \\ = 3 x (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Se cada termo do polinômio tem um fator comum.
Padrão soma e produto	$\begin{aligned} x^{2} + 7 x + 12 \\ = (x + 3) (x + 4) \end{aligned}$ ‍	Se o polinômio está na forma $x^{2} + b x + c$ ‍ e existem fatores de $c$ ‍ cuja soma é $b$ ‍.
Método do agrupamento	$\begin{aligned} 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ = 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) \\ = (x + 3) (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Se o polinômio está na forma $a x^{2} + b x + c$ ‍ e existem fatores de $a c$ ‍ cuja soma é $b$ ‍.
Trinômios quadrados perfeitos	$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍	Se o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos e o termo do meio é duas vezes o produto de suas raízes quadradas.
Diferença de quadrados	$\begin{aligned} x^{2} - 9 \\ = (x - 3) (x + 3) \end{aligned}$ ‍	Se a expressão representa uma diferença de quadrados.

Resumindo

Na prática, você raramente será informado de que tipo de método(s) de fatoração deve(m) ser usado(s) quando encontrar um problema. Então é importante que você desenvolva algum tipo de lista de verificação para ajudar a deixar o processo de fatoração mais fácil.

Aqui está um exemplo desse tipo de lista, na qual uma série de perguntas é feita para determinar como fatorar o polinômio quadrático.

Fatoração de expressões de segundo grau

Antes de iniciar qualquer problema de fatoração, é interessante escrever a sua expressão na forma padrão.

[Por quê?]

Uma vez que esse é o caso, você pode prosseguir para a seguinte lista de perguntas:

Pergunta 1: existe um fator comum?
Se não, siga para a Pergunta 2. Em caso positivo, coloque o MDC em evidência e continue para a Pergunta 2.

Colocar o MDC em evidência é um passo muito importante no processo de fatoração, já que torna os números menores. Isso, por sua vez, faz com que seja mais fácil reconhecer padrões!

Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados (isso é, $x^{2} - 16$ ‍ ou $25 x^{2} - 9$ ‍)?
Se houver uma diferença de quadrados, fatore usando o padrão

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

. Se não, prossiga para a Pergunta 3.

Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito (por exemplo, $x^{2} - 10 x + 25$ ‍ ou $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍)?
Se um trinômio quadrado perfeito estiver presente, fatore usando a fórmula

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

. Se não, siga para a Pergunta 4.

Pergunta 4:

a.) Existe uma expressão na forma $x^{2} + b x + c$ ‍?
Se não, siga para a Pergunta 5. Se sim, siga para b).

b.) Existem fatores de $c$ ‍ que somam $b$ ‍?
Em caso positivo, use a fatoração por soma e produto. Caso contrário, a expressão de segundo grau não poderá ser mais fatorada.

Pergunta 5: Há fatores de $a c$ ‍ cuja soma dá $b$ ‍?
Se você chegou até aqui, a expressão do segundo grau deve estar na forma

a x^{2} + b x + c

em que

a \neq 1

. Se há fatores de

a c

cuja soma dá

b

, fatore usando o método do agrupamento. Se não há, a expressão do segundo grau não pode ser fatorada além disso.

Seguir essa lista de verificação ajudará a garantir que você tenha fatorado a expressão de segundo grau completamente!

[O que significa fatorar completamente?]

Com isso em mente, vamos testar alguns exemplos.

Exemplo 1: fatoração de $5 x^{2} - 80$ ‍

Perceba que a equação já está na forma padrão. Nós podemos seguir para a lista de verificação.

Pergunta 1: existe um fator comum?
Sim. O MDC de

5 x^{2}

80

5

. Nós podemos colocá-lo em evidência do seguinte modo:

$5 x^{2} - 80 = 5 (x^{2} - 16)$ ‍

Pergunta 2: existe uma diferença de dois quadrados?
Sim.

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

. Nós podemos usar o padrão da diferença de dois quadrados para continuar fatorando o polinômio como mostrado abaixo.

$\begin{aligned} = 5 ((x)^{2} - (4)^{2}) \\ = 5 (x + 4) (x - 4) \end{aligned}$ ‍

Não existem mais termos quadráticos na equação. Nós fatoramos completamente o polinômio,

Em conclusão,

5 x^{2} - 80 = 5 (x + 4) (x - 4)

Exemplo 2: fatoração de $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

A expressão de segundo grau está novamente na forma padrão. Vamos começar a lista de verificação!

Pergunta 1: existe um fator comum?
Não. Os termos

4 x^{2}

12 x

9

não têm um fator comum. Próxima pergunta.

Pergunta 2: existe uma diferença de quadrados?
Não. Há um termo em

x

então não pode ser uma diferença de quadrados. Próxima pergunta.

Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito?
Sim. O primeiro termo é um quadrado perfeito, já que

4 x^{2} = (2 x)^{2}

, e o último termo é um quadrado perfeito, já que

9 = (3)^{2}

. Além disso, o termo do meio é o dobro do produto dos números que estão elevados ao quadrado, já que

12 x = 2 (2 x) (3)

Nós podemos usar o padrão do trinômio quadrado perfeito para fatorar a expressão de segundo grau.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}$ ‍

Em conclusão,

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

Exemplo 3: fatoração de $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

A expressão de segundo grau não está na forma padrão. Nós podemos reescrevê-la como

3 x^{2} + 12 x - 63

e então proceder com a lista de verificação.

Pergunta 1: existe um fator comum?
Sim. O MDC de

3 x^{2}

12 x

63

3

. Então podemos fatorar da seguinte maneira:

$3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x^{2} + 4 x - 21)$ ‍

Pergunta 2: existe uma diferença de quadrados?
Não. Próxima pergunta.

Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito?
Não. Repare que

21

não é um quadrado perfeito, então esse não pode ser um trinômio quadrado perfeito. Próxima pergunta.

Pergunta 4a: existe uma expressão com a forma $x^{2} + b x + c$ ‍?
Sim. A expressão do segundo grau resultante,

x^{2} + 4 x - 21

, tem essa forma.

Pergunta 4b: existem fatores de $c$ ‍ cuja soma dá $b$ ‍?
Sim. Especificamente, há fatores de

- 21

cuja soma dá

4

Como

7 \cdot (- 3) = - 21

7 + (- 3) = 4

, nós podemos continuar fatorando da seguinte maneira:

$\begin{aligned} = 3 (x^{2} + 4 x - 21) \\ = 3 (x + 7) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Em conclusão,

3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x + 7) (x - 3)

Exemplo 4: fatoração de $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍

Observe que essa expressão de segundo grau já está na forma padrão.

Pergunta 1: existe um fator comum?
Sim. O MDC de

4 x^{2}

18 x

10

2

. Nós podemos fatorar da seguinte maneira:

$4 x^{2} + 18 x - 10 = 2 (2 x^{2} + 9 x - 5)$ ‍

Pergunta 2: existe uma diferença de quadrados?
Não. Próxima pergunta.

Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito?
Não. Próxima pergunta.

Pergunta 4a: existe uma expressão com a forma $x^{2} + b x + c$ ‍?
Não. O coeficiente principal no fator de segundo grau é

2

. Próxima pergunta.

Pergunta 5: existem fatores de $a c$ ‍ cuja soma dá $b$ ‍?
A expressão de segundo grau resultante é

2 x^{2} + 9 x - 5

, então queremos encontrar fatores de

2 \cdot (- 5) = - 10

cuja soma dá

9

Como

(- 1) \cdot 10 = - 10

(- 1) + 10 = 9

, a resposta é sim.

Agora nós podemos escrever o termo do meio como

- 1 x + 10 x

e usar o método de agrupamento para fatorar:

\begin{aligned} 2 (2 x^{2} + 9 x - 5) \\ = 2 (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) & Separe o termo do meio \\ = 2 ((2 x^{2} - 1 x) + (10 x - 5)) & Agrupe os termos \\ = 2 (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) & Coloque os MDCs em evidência \\ = 2 (2 x - 1) (x + 5) & Coloque 2 x - 1 em evidência \end{aligned}

Teste seu conhecimento

1) Fatore $2 x^{2} + 4 x - 16$ ‍ completamente.

[Preciso de ajuda!]

2) Fatore $3 x^{2} - 60 x + 300$ ‍ completamente.

[Preciso de ajuda!]

3) Fatore $72 x^{2} - 2$ ‍ completamente.

[Preciso de ajuda!]

4) Fatore $5 x^{2} + 5 x + 15$ ‍ completamente.

[Preciso de ajuda!]

5) Fatore $8 x^{2} - 12 x - 8$ ‍ completamente.

[Preciso de ajuda!]

6) Fatore $56 - 18 x + x^{2}$ ‍ completamente.

[Preciso de ajuda!]

7) Fatore $3 x^{2} + 27$ ‍ completamente.

[Preciso de ajuda!]

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Curso: Álgebra básica > Unidade 7

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

O que você vai aprender nessa lição

Introdução: revisão dos métodos de fatoração

Resumindo

Fatoração de expressões de segundo grau

Exemplo 1: fatoração de 5x2−80‍

Exemplo 2: fatoração de 4x2+12x+9‍

Exemplo 3: fatoração de 12x−63+3x2‍

Exemplo 4: fatoração de 4x2+18x−10‍

Teste seu conhecimento

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Exemplo 1: fatoração de $5 x^{2} - 80$ ‍

Exemplo 2: fatoração de $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Exemplo 3: fatoração de $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

Exemplo 4: fatoração de $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍