If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Álgebra básica

Curso: Álgebra básica > Unidade 7

Lição 8: Fatoração de expressões de segundo grau: quadrados perfeitos
Matemática
Álgebra básica
Expressões quadráticas e polinômios
Fatoração de expressões de segundo grau: quadrados perfeitos
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies

Fatoração de expressões de segundo grau em qualquer forma

Google Sala de Aula
Reúna tudo o que aprendeu sobre a fatoração de expressões de segundo grau para fatorar diversas expressões de segundo grau em qualquer forma.

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Os seguintes métodos de fatoração serão utilizados nessa lição:

O que você vai aprender nessa lição

Neste artigo, você vai praticar o uso combinado desses métodos para fatorar completamente expressões de segundo grau em qualquer forma.

Introdução: revisão dos métodos de fatoração

MétodoExemploQuando é aplicável?
Fator comum em evidência= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Se cada termo do polinômio tem um fator comum.
Padrão soma e produto= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Se o polinômio está na forma x, squared, plus, b, x, plus, c e existem fatores de c cuja soma é b.
Método do agrupamento= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Se o polinômio está na forma a, x, squared, plus, b, x, plus, c e existem fatores de a, c cuja soma é b.
Trinômios quadrados perfeitos= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Se o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos e o termo do meio é duas vezes o produto de suas raízes quadradas.
Diferença de quadrados=  x2−9=(x−3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Se a expressão representa uma diferença de quadrados.

Resumindo

Na prática, você raramente será informado de que tipo de método(s) de fatoração deve(m) ser usado(s) quando encontrar um problema. Então é importante que você desenvolva algum tipo de lista de verificação para ajudar a deixar o processo de fatoração mais fácil.
Aqui está um exemplo desse tipo de lista, na qual uma série de perguntas é feita para determinar como fatorar o polinômio quadrático.

Fatoração de expressões de segundo grau

Antes de iniciar qualquer problema de fatoração, é interessante escrever a sua expressão na forma padrão.
Uma vez que esse é o caso, você pode prosseguir para a seguinte lista de perguntas:
Pergunta 1: existe um fator comum?
Se não, siga para a Pergunta 2. Em caso positivo, coloque o MDC em evidência e continue para a Pergunta 2.
Colocar o MDC em evidência é um passo muito importante no processo de fatoração, já que torna os números menores. Isso, por sua vez, faz com que seja mais fácil reconhecer padrões!
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados (isso é, x, squared, minus, 16 ou 25, x, squared, minus, 9)?
Se houver uma diferença de quadrados, fatore usando o padrão a, squared, minus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis. Se não, prossiga para a Pergunta 3.
Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito (por exemplo, x, squared, minus, 10, x, plus, 25 ou 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9)?
Se um trinômio quadrado perfeito estiver presente, fatore usando a fórmula a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus minus, b, right parenthesis, squared. Se não, siga para a Pergunta 4.
Pergunta 4:
a.) Existe uma expressão na forma x, squared, plus, b, x, plus, c?
Se não, siga para a Pergunta 5. Se sim, siga para b).
b.) Existem fatores de c que somam b?
Em caso positivo, use a fatoração por soma e produto. Caso contrário, a expressão de segundo grau não poderá ser mais fatorada.
Pergunta 5: Há fatores de a, c cuja soma dá b?
Se você chegou até aqui, a expressão do segundo grau deve estar na forma a, x, squared, plus, b, x, plus, c em que a, does not equal, 1. Se há fatores de a, c cuja soma dá b, fatore usando o método do agrupamento. Se não há, a expressão do segundo grau não pode ser fatorada além disso.
Seguir essa lista de verificação ajudará a garantir que você tenha fatorado a expressão de segundo grau completamente!
Com isso em mente, vamos testar alguns exemplos.

Exemplo 1: fatoração de 5, x, squared, minus, 80

Perceba que a equação já está na forma padrão. Nós podemos seguir para a lista de verificação.
Pergunta 1: existe um fator comum?
Sim. O MDC de 5, x, squared e 80 é 5. Nós podemos colocá-lo em evidência do seguinte modo:
5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, squared, minus, 16, right parenthesis
Pergunta 2: existe uma diferença de dois quadrados?
Sim. x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Nós podemos usar o padrão da diferença de dois quadrados para continuar fatorando o polinômio como mostrado abaixo.
5x2−80=5((x)2−(4)2)=5(x+4)(x−4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
Não existem mais termos quadráticos na equação. Nós fatoramos completamente o polinômio,
Em conclusão, 5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.

Exemplo 2: fatoração de 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

A expressão de segundo grau está novamente na forma padrão. Vamos começar a lista de verificação!
Pergunta 1: existe um fator comum?
Não. Os termos 4, x, squared, 12, x e 9 não têm um fator comum. Próxima pergunta.
Pergunta 2: existe uma diferença de quadrados?
Não. Há um termo em x então não pode ser uma diferença de quadrados. Próxima pergunta.
Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito?
Sim. O primeiro termo é um quadrado perfeito, já que 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, e o último termo é um quadrado perfeito, já que 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Além disso, o termo do meio é o dobro do produto dos números que estão elevados ao quadrado, já que 12, x, equals, 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Nós podemos usar o padrão do trinômio quadrado perfeito para fatorar a expressão de segundo grau.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
Em conclusão, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Exemplo 3: fatoração de 12, x, minus, 63, plus, 3, x, squared

A expressão de segundo grau não está na forma padrão. Nós podemos reescrevê-la como 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63 e então proceder com a lista de verificação.
Pergunta 1: existe um fator comum?
Sim. O MDC de 3, x, squared, 12, x e 63 é 3. Então podemos fatorar da seguinte maneira:
3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, right parenthesis
Pergunta 2: existe uma diferença de quadrados?
Não. Próxima pergunta.
Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito?
Não. Repare que 21 não é um quadrado perfeito, então esse não pode ser um trinômio quadrado perfeito. Próxima pergunta.
Pergunta 4a: existe uma expressão com a forma x, squared, plus, b, x, plus, c?
Sim. A expressão do segundo grau resultante, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, tem essa forma.
Pergunta 4b: existem fatores de c cuja soma dá b?
Sim. Especificamente, há fatores de minus, 21 cuja soma dá 4.
Como 7, dot, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 21 e 7, plus, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 4, nós podemos continuar fatorando da seguinte maneira:
3(x2+4x−21)=3(x2+4x−21)=3(x+7)(x−3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
Em conclusão, 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

Exemplo 4: fatoração de 4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10

Observe que essa expressão de segundo grau já está na forma padrão.
Pergunta 1: existe um fator comum?
Sim. O MDC de 4, x, squared, 18, x de 10 é 2. Nós podemos fatorar da seguinte maneira:
4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10, equals, 2, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, right parenthesis
Pergunta 2: existe uma diferença de quadrados?
Não. Próxima pergunta.
Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito?
Não. Próxima pergunta.
Pergunta 4a: existe uma expressão com a forma x, squared, plus, b, x, plus, c?
Não. O coeficiente principal no fator de segundo grau é 2. Próxima pergunta.
Pergunta 5: existem fatores de a, c cuja soma dá b?
A expressão de segundo grau resultante é 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, então queremos encontrar fatores de 2, dot, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, equals, minus, 10 cuja soma dá 9.
Como left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, dot, 10, equals, minus, 10 e left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 10, equals, 9, a resposta é sim.
Agora nós podemos escrever o termo do meio como minus, 1, x, plus, 10, x e usar o método de agrupamento para fatorar:
= 2(2x2+9x−5)=2(2x2−1x+10x−5)Separe o termo do meio=2((2x2−1x)+(10x−5))Agrupe os termos=2(x(2x−1)+5(2x−1))Coloque os MDCs em evideˆncia=2(2x−1)(x+5)Coloque 2x−1 em evideˆncia\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{Separe o termo do meio}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{Agrupe os termos}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{Coloque os MDCs em evidência}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{Coloque $2x-1$ em evidência}}} \end{aligned}

Teste seu conhecimento

1) Fatore 2, x, squared, plus, 4, x, minus, 16 completamente.
Escolha 1 resposta:

2) Fatore 3, x, squared, minus, 60, x, plus, 300 completamente.

3) Fatore 72, x, squared, minus, 2 completamente.

4) Fatore 5, x, squared, plus, 5, x, plus, 15 completamente.
Escolha 1 resposta:

5) Fatore 8, x, squared, minus, 12, x, minus, 8 completamente.

6) Fatore 56, minus, 18, x, plus, x, squared completamente.

7) Fatore 3, x, squared, plus, 27 completamente.
Escolha 1 resposta:

Quer participar da conversa?

Entrar
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.