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Álgebra básica

Curso: Álgebra básica > Unidade 7

Lição 8: Fatoração de expressões de segundo grau: quadrados perfeitos

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Fatoração de expressões de segundo grau: quadrados perfeitos

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Aprenda a fatorar expressões do segundo grau na forma de "trinômio do quadrado perfeito". Por exemplo, escreva x²+6x+9 como (x+3)².

A fatoração de um polinômio implica em escrevê-lo como produto de dois ou mais polinômios. É o contrário do processo de multiplicação polinomial.

Neste artigo, vamos aprender a fatorar trinômios quadrados perfeitos usando padrões especiais. Isso inverte o processo de elevar um binômio ao quadrado, então é preciso entender bem o assunto antes de continuar.

Introdução: fatoração de trinômios quadrados perfeitos

Para expandir qualquer binômio, podemos aplicar um dos seguintes modelos.

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ‍
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ‍

[De onde vêm estes modelos?]

Note que nos modelos,

a

e

b

podem ser quaisquer expressões algébricas. Por exemplo, suponha que queiramos expandir

(x + 5)^{2}

. Neste caso,

a = x

e

b = 5

, e portanto chegamos em:

$\begin{aligned} (x + 5)^{2} & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = x^{2} + 10 x + 25 \end{aligned}$ ‍

Você pode verificar este modelo usando a multiplicação para expandir

(x + 5)^{2}

.

[Eu gostaria de ver esta expansão!]

O inverso deste processo de expansão é uma forma de fatoração. Se reescrevermos as equações na ordem inversa, nós teremos modelos para a fatoração de polinômios da forma

a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ ‍

Podemos aplicar o primeiro modelo para fatorar

x^{2} + 10 x + 25

. Aqui temos

a = x

e

b = 5

.

$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍

Expressões desta forma são chamadas trinômios quadrados perfeitos. O nome remete ao fato de que este tipo de polinômio de três termos pode ser expresso como um quadrado perfeito!

Vamos dar uma olhada em alguns exemplos nos quais fatoramos trinômios quadrados perfeitos usando este modelo.

Exemplo 1: fatoração de $x^{2} + 8 x + 16$ ‍

Note que o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos:

x^{2} = (x)^{2}

e

16 = (4)^{2}

. Além do mais, note que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão elevados ao quadrado:

2 (x) (4) = 8 x

.

Isto nos diz que o polinômio é um trinômio quadrado perfeito, e então podemos usar o seguinte modelo de fatoração.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

Em nosso caso,

a = x

e

b = 4

. Podemos fatorar o polinômio assim:

\begin{aligned} x^{2} + 8 x + 16 & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = (x + 4)^{2} \end{aligned}

Podemos verificar nossa fatoração expandindo

(x + 4)^{2}

:

\begin{aligned} (x + 4)^{2} & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = x^{2} + 8 x + 16 \end{aligned}

[A fatoração pode ser feita de outra maneira?]

Teste seu conhecimento

1) Fatore $x^{2} + 6 x + 9$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

2) Fatore $x^{2} - 6 x + 9$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

3) Fatore $x^{2} + 14 x + 49$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Exemplo 2: fatoração de $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Não é necessário que o coeficiente principal de um trinômio quadrado perfeito seja

1

.

Por exemplo, em

4 x^{2} + 12 x + 9

, observe que o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

e

9 = (3)^{2}

. Além do mais, note que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão elevados ao quadrado:

2 (2 x) (3) = 12 x

.

Como as condições acima são satisfeitas,

4 x^{2} + 12 x + 9

também é um trinômio quadrado perfeito. Podemos aplicar o seguinte modelo de fatoração novamente.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

Neste caso,

a = 2 x

e

b = 3

. O polinômio fatorado fica assim:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 & = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Podemos verificar nossa fatoração expandindo

(2 x + 3)^{2}

.

[A fatoração pode ser feita de outra maneira?]

Teste seu conhecimento

4) Fatore $9 x^{2} + 30 x + 25$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

5) Fatore $4 x^{2} - 20 x + 25$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Desafios

6*) Fatore $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

7*) Fatore $9 x^{2} + 24 x y + 16 y^{2}$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

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Cristhian Ω ο ρ φ χ ψ
Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Na resolução da questão ...” de Cristhian Ω ο ρ φ χ ψ
Na resolução da questão 7 -> 9x²+24x+16y², onde estaria a incógnita "y", no termo "24xy" do enunciado?
Botão para a página de cadastroComentar sobre a postagem “Na resolução da questão ...” de Cristhian Ω ο ρ φ χ ψ
(6 votos)
Resposta
- Luiz Portella
  Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “o termo 9x² você percebe ...” de Luiz Portella
  o termo 9x² você percebe que é (3x)².
  o termo 16y² você percebe que é (4y)² então o do meio seria 2 . 3x . 4y? bom, isso dá 24 xy, e ok, é isso mesmo!
  Comentar sobre a postagem “o termo 9x² você percebe ...” de Luiz Portella
  (11 votos)
vitor.cruz.jhonatan
Publicado há há 6 meses. Link direto para a postagem “to mais perdido que neyma...” de vitor.cruz.jhonatan
to mais perdido que neymar na copa
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victor.rocha.santos21
Publicado há há 6 meses. Link direto para a postagem “é memu” de victor.rocha.santos21
é memu
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