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Fatoração de polinômios com um divisor comum

Aprenda a fatorar um fator comum de uma expressão polinomial. Por exemplo, fatore 6x²+10x como 2x(3x+5).

Conceitos com que você deve estar familiarizado antes dessa lição

O MDC (máximo divisor comum) de dois ou mais monômios é o produto de todos os seus fatores primos em comum. Por exemplo, o MDC de 6x e 4x2 é 2x.
Se isso é novidade para você, confira nosso artigo sobre máximo divisor comum de monômios.

O que você vai aprender nessa lição

Nessa lição, você aprenderá a fatorar elementos comuns de polinomiais.

A propriedade distributiva: a(b+c)=ab+ac

Para entender como fatorar elementos comuns, devemos entender a propriedade distributiva.
Por exemplo, podemos usar a propriedade distributiva para calcular o produto de 3x2 e 4x+3, como mostrado abaixo:
3x2(4x+3)=3x2(4x)+3x2(3)
Observe como cada termo no binômio foi multiplicado por um fator comum de 3x2.
No entanto, como a propriedade distributiva é uma igualdade, o processo inverso também é verdadeiro!
3x2(4x)+3x2(3)=3x2(4x+3)
Se começarmos com 3x2(4x)+3x2(3), podemos usar a propriedade distributiva para fatorar 3x2 e obter 3x2(4x+3).
A expressão resultante está na forma fatorada, porque está escrita como um produto de dois polinômios, enquanto a expressão original é a soma de dois termos.

Teste seu conhecimento

Problema 1
Escreva 2x(3x)+2x(5) na forma fatorada.
Escolha 1 resposta:

Como fatorar o máximo divisor comum (MDC)

Para fatorar o MDC de um polinômio, fazemos o seguinte:
  1. Calcule o MDC de todos os termos no polinômio.
  2. Expresse cada termo como um produto do MDC e outro fator.
  3. Use a propriedade distributiva para fatorar o MDC.
Vamos fatorar o MDC de 2x36x2.
Etapa 1: Calcule o MDC
  • 2x3=2xxx
  • 6x2=23xx
Então, o MDC de 2x36x2 é 2xx=2x2.
Passo 2: Expresse cada termo como um produto de 2x2 e outro fator.
  • 2x3=(2x2)(x)
  • 6x2=(2x2)(3)
Então, o polinômio pode ser escrito como 2x36x2=(2x2)(x)(2x2)(3).
Passo 3: Fatore o MDC
Agora podemos aplicar a propriedade distributiva para fatorar o 2x2.
2x2(x)2x2(3)=2x2(x3)
Como verificar nosso resultado
Podemos verificar nossa fatoração multiplicando 2x2 de volta no polinômio.
2x2(x3)=2x2(x)2x2(3)
Como isso é igual ao polinômio original, nossa fatoração está correta!

Teste seu conhecimento

Problema 2
Fatore o máximo divisor comum de 12x2+18x.
Escolha 1 resposta:

Problema 3
Fatore o máximo divisor comum do seguinte polinômio.
10x2+25x+15=

Problema 4
Fatore o máximo divisor comum do seguinte polinômio.
x48x3+x2=

Podemos ser mais eficientes?

Se se sentir confortável com o processo de fatoração do MDC, você pode usar um método mais rápido:
Como sabemos qual é o MDC, a forma fatorada é simplesmente o produto entre esse MDC e a soma dos termos do polinômio original dividido pelo MDC.
Veja, por exemplo, como podemos usar este método rápido para fatorar 5x2+10x, cujo MDC é 5x:
5x2+10x=5x(5x25x+10x5x)=5x(x+2)

Fatoração de fatores binomiais

O fator comum em um polinômio não precisa ser um monômio.
Por exemplo, considere o polinômio x(2x1)4(2x1).
Observe que o binômio 2x1 é comum aos dois termos. Podemos fatorar isso usando a propriedade distributiva:
x(2x1)4(2x1)=(x4)(2x1)

Teste seu conhecimento

Problema 5
Fatore o máximo divisor comum do seguinte polinômio.
2x(x+3)+5(x+3)=

Diferentes tipos de fatoração

Pode parecer que usamos o termo "fator" para descrever vários processos diferentes:
  • Nós fatoramos monômios escrevendo-os como um produto de outros monômios. Por exemplo, 12x2=(4x)(3x).
  • Nós fatoramos o MDC de polinômios usando a propriedade distributiva. Por exemplo, 2x2+12x=2x(x+6).
  • Fatoramos fatores binomiais comuns cujo resultado em uma expressão era igual ao produto de dois binômios. Por exemplo:
x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2)
Embora tenhamos usado técnicas diferentes, em todos os casos estamos escrevendo o polinômio como um produto de dois ou mais fatores. Então, em todos os três exemplos, nós realmente fatoramos o polinômio.

Desafios

Problema 6
Fatore o máximo divisor comum do seguinte polinômio.
12x2y530x4y2=

Problema 7
Um grande retângulo com área de 14x4+6x2 metros quadrados está dividido em dois retângulos menores com áreas de 14x4 e 6x2 metros quadrados.
A largura do retângulo (em metros) é igual ao máximo divisor comum de 14x4 e 6x2.
Quais são o comprimento e a largura do retângulo grande?
Largura=
metros
Comprimento=
metros

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