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Álgebra básica

Curso: Álgebra básica > Unidade 7

Lição 6: Fatoração de equações do segundo grau 2
Matemática
Álgebra básica
Expressões quadráticas e polinômios
Fatoração de equações do segundo grau 2
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Fatoração por agrupamento

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Aprenda sobre um método de fatoração chamado "agrupamento." Por exemplo, podemos usar o agrupamento para escrever 2x²+8x+3x+12 como (2x+3)(x+4).

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Fatorar um polinômio envolve escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinômios. Isto reverte o processo de multiplicação polinomial.
Já vimos vários exemplos de fatoração. Entretanto, neste artigo, você deve estar especialmente familiarizado com a fatoração de fatores comuns usando a propriedade distributiva. Por exemplo, 6, x, squared, plus, 4, x, equals, 2, x, left parenthesis, 3, x, plus, 2, right parenthesis .

O que você vai aprender nessa lição

Neste artigo, aprenderemos como usar um método de fatoração chamado agrupamento.

Exemplo 1: fatoração de 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12

Primeiro, perceba que não existe nenhum fator comum a todos os termos em 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12. Entretanto, se agruparmos os dois primeiros termos e os dois últimos termos, cada grupo terá seu próprio MDC, ou máximo divisor comum:
start underbrace, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 8, x, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, p, r, i, m, e, i, r, o, space, a, g, r, u, p, a, m, e, n, t, o, end text, end subscript, plus, start underbrace, left parenthesis, 3, x, plus, 12, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, s, e, g, u, n, d, o, space, a, g, r, u, p, a, m, e, n, t, o, end text, end subscript
Em particular, há um MDC de 2, x no primeiro agrupamento e um MDC de 3 no segundo agrupamento. Podemos colocá-los em evidência para obter a seguinte expressão:
2, x, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis
Perceba que isso revela ainda outro fator comum entre os dois termos: start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05. Podemos usar a propriedade distributiva para fatorar esse fator comum.
2, x, left parenthesis, start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis
Como o polinômio agora é expresso como um produto de dois binômios, ele está na forma fatorada. Podemos conferir nosso trabalho multiplicando e comparando com o polinômio original.

Exemplo 2: fatoração de 3, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 8

Vamos resumir o que foi feito anteriormente fatorando outro polinômio.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Termos agrupados=3x(x+2)+4(x+2)Fatore os MDCs=3x(x+2)+4(x+2)Fator comum!=(x+2)(3x+4)Fatore x+2\begin{aligned}&\phantom{=}3x^2+6x+4x+8\\\\ &=(3x^2+6x)+(4x+8)&&\small{\gray{\text{Termos agrupados}}}\\ \\ &=3x({x+2})+4({x+2})&&\small{\gray{\text{Fatore os MDCs}}}\\ \\ &=3x(\goldD{x+2})+4(\goldD{x+2})&&\small{\gray{\text{Fator comum!}}}\\\\ &=(\goldD{x+2})(3x+4)&&\small{\gray{\text{Fatore } x+2}} \end{aligned}
A forma fatorada é left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis.

Teste seu conhecimento

1) Fatore 9, x, squared, plus, 6, x, plus, 12, x, plus, 8.
Escolha 1 resposta:

2) Fatore 5, x, squared, plus, 10, x, plus, 2, x, plus, 4.

3) Fatore 8, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 3.

Exemplo 3: fatoração de 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8

Deve-se tomar cuidado extra no uso do método do agrupamento para fatorar polinômios com coeficientes negativos.
Por exemplo, os passos abaixo podem ser usados para fatorar 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8.
0=3x2−6x−4x+8(1)=(3x2−6x)+(−4x+8)Agrupe os termos(2)=3x(x−2)+(−4)(x−2)Coloque os MDC em evideˆncia(3)=3x(x−2)−4(x−2)Simplifique(4)=3x(x−2)−4(x−2)Fator comum!(5)=(x−2)(3x−4)Coloque x−2 em evideˆncia\begin{aligned}\phantom{0}&&&\phantom{=}3x^2-6x-4x+8\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=(3x^2-6x)+(-4x+8)&&\small{\gray{\text{Agrupe os termos}}}\\\\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x(x-2)+(-4)(x-2)&&\small{\gray{\text{Coloque os MDC em evidência}}}\\\\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x(x-2)-4(x-2)&&\small{\gray{\text{Simplifique}}}\\\\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\goldD{x-2})-4(\goldD{x-2})&&\small{\gray{\text{Fator comum!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\goldD{x-2})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Coloque $x-2$ em evidência}}}\\\\ \end{aligned}
A forma fatorada do polinômio é left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis. Podemos multiplicar os binômios para conferir nosso trabalho.
Algumas das etapas acima podem parecer diferentes daquelas que você viu no primeiro exemplo, então você pode ter algumas perguntas.
De onde veio o sinal de "+" entre os agrupamentos?
Na etapa start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd, o sinal de "+" foi adicionado entre os agrupamentos left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis e left parenthesis, minus, 4, x, plus, 8, right parenthesis. Isto porque o terceiro termo left parenthesis, minus, 4, x, right parenthesis é negativo, e o sinal do termo deve ser incluído dentro do agrupamento.
Manter o sinal de menos fora do segundo agrupamento é uma pegadinha. Por exemplo, um erro comum é agrupar 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 como left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, 4, x, plus, 8, right parenthesis. Este agrupamento, entretanto, é simplificado para 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, start color #ca337c, minus, 8, end color #ca337c, o que não é igual à expressão original.
Por que colocar minus, 4, ao invés de 4, em evidência?
Na etapa start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd, colocamos um minus, 4 em evidência para revelar um fator comum de left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis entre os termos. Se, ao invés disso, tivéssemos colocado um 4 positivo em evidência, não obteríamos aquele fator binomial comum visto acima:
(3x2−6x)+(−4x+8)=3x(x−2)+4(−x+2)\begin{aligned}(3x^2-6x)+(-4x+8)&=3x(\goldD{x-2})+4(\purpleC{-x+2})\\ \end{aligned}
Quando o termo principal em um grupo for negativo, frequentemente precisaremos colocar um fator comum negativo em evidência.

Teste seu conhecimento

4) Fatore 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, x, plus, 6.
Escolha 1 resposta:

5) Fatore 3, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, x, minus, 10.

6) Fatore 3, x, squared, plus, 6, x, minus, x, minus, 2.

Desafio

7*) Fatore 2, x, cubed, plus, 10, x, squared, plus, 3, x, plus, 15.

Quando podemos usar o método de agrupamento?

O método do agrupamento pode ser utilizado para fatorar polinômios sempre que um fator comum existir entre os agrupamentos.
Por exemplo, podemos utilizar o método do agrupamento para fatorar 3, x, squared, plus, 9, x, plus, 2, x, plus, 6, já que ele pode ser escrito da seguinte maneira:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)\begin{aligned}(3x^2+9x)+(2x+6)&=3x(\goldD{x+3})+2(\goldD{x+3})\\ \end{aligned}
Não podemos, no entanto, usar o método do agrupamento para fatorar 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 4, x, plus, 12 porque colocar o MDC em evidência nos dois agrupamentos não gera um fator comum!
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)\begin{aligned}(2x^2+3x)+(4x+12)&=x(\goldD{2x+3})+4(\purpleC{x+3})\\ \end{aligned}

Uso de agrupamento para fatorar trinômios

Você também pode utilizar o agrupamento para fatorar certas expressões do segundo grau compostas por três termos (trinômios), como 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3. Isto porque podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:
2, x, squared, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3
Em seguida, podemos utilizar o agrupamento para fatorar 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3 como left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis.
Para saber mais sobre como fatorar trinômios de segundo grau como esses usando o método de agrupamento, confira nosso próximo artigo.

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