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Álgebra básica

Curso: Álgebra básica > Unidade 7

Lição 9: Resolução de equações de segundo grau por fatoração
Matemática
Álgebra básica
Expressões quadráticas e polinômios
Resolução de equações de segundo grau por fatoração
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Resolução de equações do segundo grau por fatoração

Google Sala de Aula
Aprenda a resolver equações do segundo grau como (x-1)(x+3)=0 e a usar a fatoração para resolver outras formas de equações.

Que conceitos você deve conhecer antes de iniciar essa lição

O que você vai aprender nessa lição

Até agora, você resolveu equações lineares, que incluem termos constantes — números simples — e termos com a variável elevada à primeira potência x, start superscript, 1, end superscript, equals, x.
Você também deve ter resolvido algumas equações de segundo grau, o que inclui a variável elevada à segunda potência, calculando a raiz quadrada de ambos os lados.
Nesta lição, você aprenderá uma nova maneira de resolver equações de segundo grau. Mais especificamente, você saberá
  • como resolver equações fatoradas como left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 e
  • como usar métodos de fatoração para transformar outras equações left parenthesiscomo x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, right parenthesis na forma fatorada e resolvê-las.

Resolução de equações do segundo grau fatoradas

Suponha que devemos resolver a equação do segundo grau left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Este é um produto de duas expressões que é igual a zero. Observe que qualquer valor x que torne left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis ou left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis igual a zero tornará seu produto igual a zero.
(x−1)(x+3)=0↙↘x−1=0x+3=0x=1x=−3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
Se substituirmos x, equals, 1 ou x, equals, minus, 3 na equação, obteremos a afirmativa verdadeira 0, equals, 0, então ambas são soluções da equação.
Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.
Resolva left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, equals, 0.
Escolha 1 resposta:

Resolva left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Escolha 1 resposta:

Pergunta para reflexão

Podemos aplicar o mesmo método de solução à equação left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 6?
Escolha 1 resposta:

Observação sobre a propriedade do elemento nulo

Como sabemos que não há mais soluções além das que encontramos usando nosso método?
A resposta é dada por uma propriedade simples, mas muito útil, chamada de propriedade do elemento nulo:
Se o produto de duas quantidades é igual a zero, então pelo menos uma delas deve ser igual a zero.
Substituir x por qualquer valor diferente de nossas soluções resulta em um produto de dois números diferentes de zero, o que significa que o produto certamente não é zero. Portanto, sabemos que nossas soluções são as únicas possíveis.

Resolução pela fatoração

Suponha que queiramos resolver a equação x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0. Então, tudo o que temos que fazer é fatorar x, squared, minus, 3, x, minus, 10 e resolvê-la da mesma maneira que antes!
x, squared, minus, 3, x, minus, 10 pode ser fatorada como left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis.
A solução completa da equação fica assim:
x2−3x−10=0(x+2)(x−5)=0Fatore.\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Fatore.}\end{aligned}
↙↘x+2=0x−5=0x=−2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}
Agora, é a sua vez de resolver algumas equações por conta própria. Lembre-se de que diferentes equações requerem diferentes métodos de fatoração.

Resolva x, squared, plus, 5, x, equals, 0.

Etapa 1. Fatore x, squared, plus, 5, x como o produto de duas expressões lineares.\quad

Etapa 2. Resolva a equação.
Escolha 1 resposta:

Resolva x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0.

Etapa 1. Fatore x, squared, minus, 11, x, plus, 28 como o produto de duas expressões lineares.\quad

Etapa 2. Resolva a equação.
Escolha 1 resposta:

Resolva 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0.

Etapa 1. Fatore 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1 como o produto de duas expressões lineares.\quad

Etapa 2. Resolva a equação.
Escolha 1 resposta:

Resolva 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0.

Etapa 1. Fatore 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4 como o produto de duas expressões lineares.\quad

Etapa 2. Resolva a equação.
Escolha 1 resposta:

Organizar a equação antes de fatorá-la

Um dos lados deve ser zero.

Resolvemos a equação x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x da seguinte forma:
x2+2x=40−xx2+2x−40+x=0Subtraia 40 e some x.x2+3x−40=0Combine termos semelhantes.(x+8)(x−5)=0Fatore.\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{Subtraia 40 e some }x\text{.}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Combine termos semelhantes.}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Fatore.}\end{aligned}
↙↘x+8=0x−5=0x=−8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}
Antes de fatorar, manipulamos a equação para que todos os termos estivessem do mesmo lado, e o outro lado fosse zero. Só assim conseguimos fatorar e usar nosso método de resolução.

Removendo os fatores comuns

Resolvemos a equação 2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0 da seguinte forma:
2x2−12x+18=0x2−6x+9=0Divida por 2.(x−3)2=0Fatore.↓x−3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{Divida por 2.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Fatore.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
A princípio, todos os termos tinham um fator comum igual a 2, então dividimos todos os lados por 2 — o lado do zero permaneceu igual a zero — o que facilitou a fatoração.
Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.
Encontre as soluções da equação.
2, x, squared, minus, 3, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 34
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Encontre as soluções da equação.
3, x, squared, plus, 33, x, plus, 30, equals, 0
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Encontre as soluções da equação.
3, x, squared, minus, 9, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 5, x, plus, 16
Escolha todas as respostas aplicáveis:

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