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Álgebra básica

Curso: Álgebra básica > Unidade 5

Lição 4: Número de soluções para sistemas de equações
Matemática
Álgebra básica
Sistemas de equações
Número de soluções para sistemas de equações
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Revisão do número de soluções do sistema de equações

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Um sistema de equações lineares costuma ter uma única solução, mas, às vezes, ele pode não ter nenhuma (retas paralelas) ou ter infinitas (mesma reta). Este artigo revisa esses três casos.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um meio. Um gráfico de uma reta passa pelos pontos meio negativo e três, e por três e dois. Um gráfico de outra reta passa pelos pontos zero e zero, e um e um. Essas duas retas se interceptam em um valor de x entre dois e três e em um valor de y entre dois e três.
Uma solução. Um sistema de equações lineares tem uma única solução quando os gráficos se cruzam em um ponto.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um meio. Um gráfico de uma reta passa pelos pontos um e um e meio, e por três e um. Um gráfico de uma outra reta passa pelos pontos um e dois e meio, e por três e dois. Essas duas retas nunca se interceptam.
Nenhuma solução. Um sistema de equações lineares não tem nenhuma solução quando os gráficos são paralelos.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um meio. Um gráfico de uma reta passa pelos pontos zero e um e meio, e por três e dois. Um gráfico de uma outra reta passa pelos pontos zero e um e meio, e por três e dois. Essas retas se sobrepõem completamente.
Infinitas soluções. Um sistema de equações lineares tem infinitas soluções quando os gráficos são exatamente a mesma reta.
Quer saber mais sobre o número de soluções dos sistemas de equações? Confira este vídeo.

Exemplo de sistema com uma única solução

Precisamos encontrar o número de soluções deste sistema de equações:
y=−6x+83x+y=−4\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ 3x+y&=-4 \end{aligned}
Vamos colocá-las na forma de equação reduzida da reta:
y=−6x+8y=−3x−4\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ y&=-3x-4 \end{aligned}
Como os coeficientes angulares são diferentes, as retas devem se cruzar. Veja os gráficos:
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um meio. A equação y igual a seis negativo x mais oito está representada graficamente e passa pelos pontos zero e oito, e por um e dois. A equação três x mais y igual a quatro negativo está representada graficamente e passa pelos pontos zero e quatro negativo, e por um e sete negativo. Essas retas se interceptam em um valor que está abaixo do gráfico.
Como as retas se cruzam em um ponto, há uma solução para o sistema de equações que as retas representam.

Exemplo de sistema sem solução

Precisamos encontrar o número de soluções deste sistema de equações:
y=−3x+9y=−3x−7\begin{aligned} y &= -3x+9\\\\ y &= -3x-7 \end{aligned}
Sem fazer o gráfico dessas equações, podemos observar que ambas têm um coeficiente angular igual a minus, 3. Isso significa que as retas devem ser paralelas. E como as interceptações em y são diferentes, sabemos que essas retas não estão uma sobre a outra.
Não há uma solução para este sistema de equações.

Exemplo de sistema com infinitas soluções

Precisamos encontrar o número de soluções deste sistema de equações:
−6x+4y=23x−2y=−1\begin{aligned} -6x+4y &= 2\\\\ 3x-2y &= -1 \end{aligned}
É interessante notar que, se multiplicarmos a segunda equação por minus, 2, obteremos a primeira equação:
3x−2y=−1−2(3x−2y)=−2(−1)−6x+4y=2\begin{aligned} 3x-2y &= -1\\\\ \blueD{-2}(3x-2y)&=\blueD{-2}(-1)\\\\ -6x+4y &= 2 \end{aligned}
Em outras palavras, as equações são equivalentes e compartilham o mesmo gráfico. Toda solução que der certo para uma equação também dará certo para a outra, então há infinitas soluções para o sistema.

Prática

Problema 1
  • Atual
O sistema linear de equações tem quantas soluções?
y=−2x+47y=−14x+28\begin{aligned} y &= -2x+4\\\\ 7y &= -14x+28 \end{aligned}
Escolha 1 resposta:

Quer praticar mais? Confira esses exercícios:

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  • Avatar blobby green style do usuário carloskeuffer
    Publicado há há 4 meses. Link direto para a postagem “O resultado da prática 2 ...” de carloskeuffer
    O resultado da prática 2 está equivocado quando conclui
    que " Isso significa que o sistema não tem solução. "
    O correto seria que o sistema tem uma única solução.
    (3 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
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