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Número de soluções de um sistema de equações representado algebricamente

Neste vídeo, resolvemos diversos exemplos determinando o número de soluções de um sistema de equações usando o método algébrico.

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Transcrição de vídeo

RKA - Vamos verificar neste vídeo o número de soluções para um sistema de equações lineares, beleza? Aqui é o seguinte. A gente pode analisar graficamente para perceber se, de repente, as retas são paralelas e não existiria solução alguma, nenhuma solução. Se essas retas forem uma sobre a outra, ou seja representarem a mesma reta, teria infinitas soluções e se elas se intersectarem em um único ponto, então teria uma única solução. Mas a gente vai resolver isso aqui algebricamente nesse vídeo, beleza? Então, é o seguinte. Temos esses dois sistemas aqui. O quê ele está pedindo para a gente? Quantas soluções o sistema de equações lineares a seguir tem? Então, vamos analisar. Para fazer isso aqui, eu vou escolher uma das duas equações para multiplicar por um número. Digamos que eu queira encontrar primeiro valor do y. Então, eu vou eliminar esse termo do 5x aqui. Para isso, vou multiplicar essa equação toda por -1. Fazendo isso, eu vou ter o quê? Vou ter 5x - 9y (ali em cima) = 16. E aqui em baixo, vou ter quanto? Vou ter -5x, vou multiplicar tudo por -1, então vai trocar o sinal de todo mundo, -5x + 9y = -36. Fazendo as contas, a gente vai perceber que 5x - 5x = 0. E aqui, perceba, -9y + 9y também dá igual a zero. Então, a gente vai ter do lado esquerdo a 0. 0 = 16 - 36. 16 - 36 aqui vai dar -20. Então, 0 = -20. Agora, te pergunto o seguinte. Quando, para quais valores de x e y, para qual par ordenado x, y aqui eu vou ter que 0 = -20? Nunca. Nunca o 0 será igual a -20. Então, posso dizer aqui que esse sistema de equações lineares não tem soluções. Pois nunca eu vou encontrar um par ordenado x, y que satisfaça que 0 = -20. Isso nunca vai ser verdade. Por isso que não tem solução alguma. Vamos fazer mais uma aqui então. Vamos lá que essa daqui é interessante para caramba. Quantas soluções o sistema de equações lineares a seguir tem? Ele nos dá esse sistema aqui. Então, para essa equação, eu percebo que tenho 4y - 2y. Então, basta multiplicar por 2, que eu vou, no caso, simplificar o 4y com -4y de baixo. Então teria -6x + 4y = 2 aqui em cima. E aqui embaixo teria quanto? 6x - 4y = -2. Quando eu somar ambas as equações, eu vou ter o quê? Aqui simplifica e dá zero. Aqui simplifica e também dá zero. E aqui o 2 - 2 = 0 também. Eu chego à conclusão que 0 = 0. E agora? Quantas soluções têm essa equação linear, só analisando esse resultado aqui? Bom, apesar de não ter nenhum x, y aqui agora, repara que em cima deu 0 = -20, aqui eu não teria nenhuma solução porque isso aqui não é uma afirmação verdadeira, zero nunca vai ser igual a -20. Mas aqui deu 0 = 0. E 0 = 0 sempre sempre vai ser uma afirmação verdadeira. Então, não importa. Eu vou ter infinitos pares ordenados x, y aqui que vão me dar a solução 0 = 0. Logo, posso dizer aqui que eu tenho infinitas soluções pois sempre, sempre, não importa o quê, zero sempre será igual a zero, tranquilo? Então aqui nós vamos ter infinitas soluções para esse sistema. Vamos agora resolver mais. Estou bem animado para resolver isso daqui. Ao tentar encontrar a solução para o sistema de equações lineares a seguir, Yvonne toma vários passos corretos que levam para a equação -5 = 20. E aí, -5 = 20. Será que a gente precisa resolver daqui para determinar um número de soluções? Não precisa, porque -5 nunca vai ser igual a 20. Não importa qual par ordenado x, y ela pegue aqui, nunca -5 será igual a 20. Então, chego à conclusão que ao resolver esse sistema de equações lineares aqui, ao multiplicar apropriadamente pelos números, simplificar tudinho ela chegou a essa conclusão, eu chego à conclusão que -5 nunca é igual a 20, então não tem nenhuma solução. Não tem soluções. Isso nunca vai ser verdade, não importa qual x, y eu pegue aqui. Vamos fazer mais aqui. Vamos fazer essa daqui agora. Ao tentar encontrar a solução para o sistema de equações lineares a seguir, Albus toma vários passos corretos que levam para a equação 5y = -5. Quantas soluções esse sistema de equações lineares tem? Então, a gente vai pegar esse sistema aqui e vai chegar a essa conclusão. Agora, como ele chegou a essa conclusão aqui? Perceba que se eu multiplicar por -1, eu faço o seguinte. Vou escrever aqui em cima 5x - 2y = 6. E aqui embaixo, eu vou ter -5x, porque estou multiplicando por -1, - 3y = -1. E quando a gente somar isso, vai dar zero aqui. Aqui eu vou ter -5y = 5. E, quando eu multiplicar por -1 novamente essa equação, eu vou ter 5y = -5. E você percebe que eu tenho apenas uma única solução. Ou seja, ao dividir ambos os lados por 5, eu vou ter que o y vai ser igual a -1. E o y sendo igual a -1, eu vou ter apenas um único x que vai satisfazer esse meu sistema de equação. Ou seja, se eu substituir nessa equação aqui de cima, por exemplo, eu teria que o seguinte. Eu teria que 5x - 2(-1), que é o valor do y, o -1 que eu substitui, tem que ser igual a 6. Logo, o meu x aqui é 5x + 2, -2 × -1 vai dar + 2, tem que ser igual a 6. Logo, 5x vai ter que ser igual a 6 - 2, eu vou subtrair 2 em ambos os lados, ou seja 5x = 4. E o x vai ser igual a ⅘. Então, o y só vai ser igual a -1, o x só vai ser igual a ⅘. Tem uma única solução. Exatamente uma solução para esse nosso sistema. Vamos resolver mais. É o seguinte. Ao tentar encontrar a solução para o sistema de equações lineares a seguir, Levon toma vários passos corretos que levam a equação 0 = 0. Ele resolveu esse sistema. Então, quantas soluções tem esse sistema? Eu não preciso nem olhar para o sistema porque 0 é igual a 0 sempre. E se ele tomou passos corretos para chegar a essa conclusão aqui, logo como 0 é igual a 0 sempre, eu vou ter infinitas soluções, infinitos pares x, y que vão me dar a solução correta para esse sistema. Logo, eu vou ter aqui infinitas soluções para esse sistema. Eu não preciso nem analisar esse sistema. E por esse vídeo aqui é só. Espero que você tenha compreendido e saiba avaliar quantas soluções o sistema de equações lineares tem. Até o próximo vídeo!