Por que um número negativo multiplicado por um número negativo faz sentido?

RKA - Você, um antigo filósofo da matemática, concluiu que para que a multiplicação de um número positivo e um negativo seja consistente, com tudo o que construiu até agora, com todas as outras propriedades da multiplicação que já sabe, precisa de um número negativo vezes um positivo ou um positivo vezes um negativo para que resulte em um número negativo, e um negativo vezes um negativo para que resulte em um número positivo. Então, agora você aceita que tudo é consistente, esse fato não faz muito sentido para ter uma percepção mais profunda do que só aceitar que seja consistente com a propriedade distributiva e qualquer outra coisa, e tenta outro experimento. Você diz: "Bom, qual é uma maneira mais básica de multiplicação para fazer isso?" Se eu disser: "2 vezes 3", um jeito de explicar a multiplicação básica é repetindo a soma, você pode ver isso como dois 3. Deixa eu escrever esse 3 + 3. E perceba que temos dois deles, tem dois aqui, ou você pode ver isso como três 2, é a mesma coisa que 2 + 2 + 2 e tem três deles. E de qualquer forma que pensar, terá exatamente a mesma resposta. Isso vai ser igual a 6. Muito bem, você sabia disso mesmo antes de aprender os números negativos. Agora vamos tentar fazer com um desses sendo negativo e ver o que acontece. Vamos fazer 2 vezes 2 vezes -3. Quero fazer o negativo de uma cor diferente. 2 vezes -3. Bom, um jeito de ver isso é com a mesma analogia aqui, é -3 duas vezes, então seria -3, vou fazer colorido, e daí outro -3. Ou eu poderia dizer -3 - 3. Ou, isso é interessante, aqui tem um 2 vezes 3 positivo. Você somou 2 três vezes mas uma vez que aqui é 2 vezes -3, também pode imaginar que vamos subtrair 2 três vezes. Então, em vez de aqui em cima, eu poderia ter escrito +2 +2 +2, porque isso é +3 aqui, mas já sabemos que estamos fazendo isso com o -3. Podemos imaginar subtrair 2 três vezes. Então, seria subtrair 2, subtrair outro 2 aqui, outro 2 aqui e depois vocês subtrai outro 2. Note que você fez novamente, fez três vezes. Então esse é um -3. Na verdade, você está subtraindo 2 três vezes. De qualquer jeito, você pode pensar assim. Aqui, teremos -6. Vamos ter -6 como resposta. Agora já está se sentindo melhor a respeito dessa parte aqui? Um negativo vezes um positivo, ou um positivo vezes um negativo resultará em um negativo. Vamos para o que não é tão intuitivo. Um negativo vezes um negativo. De repente, os negativos se cancelam e resultam em um positivo. Por que é assim? Podemos construir a partir desse exemplo aqui. Digamos que temos -2. Temos -2, deixa eu fazer de outra cor. Digamos que eu tenha -2. -2 vezes -3. Eu vou fazer esse primeiro. Ainda estamos multiplicando algo por -3, então vamos subtrair essa coisa repetidamente três vezes, o que quer que essa coisa seja. Mas isso não é um 2 positivo, o que vamos subtrair é -2. Deixa eu ser mais claro, vamos subtrair algo três vezes, deixa eu esclarecer. Aqui diz que vamos subtrair algo três vezes, então, subtraímos alguma coisa três vezes. Subtrair algo três vezes. É isso que essa parte aqui diz. E vamos fazer isso exatamente três vezes. Aqui era +2, que subtraímos 3 vezes. Agora, vamos fazer com o -2 e vamos subtrair números negativos. Nós já construímos essa intuição, que subtrair negativos é o mesmo, é como quitar a dívida de alguém, é o mesmo que somar positivos. Então, isso vai ser a mesma coisa que 2 + 2 + 2. E, de novo, isso dá +6. Pode usar a mesma lógica, agora. Em vez de somar -3 duas vezes, realmente poderíamos escrever esse -3 como nesse exemplo, -3 - 3. E somamos isso. Deixa eu colocar um mais aqui, para deixar claro que somamos duas vezes, somamos -3 duas vezes. Ou aqui, já que temos um -2. Vamos subtrair -3 duas vezes, então, vamos subtrair alguma coisa e vamos subtrair alguma coisa de novo. Essa coisa vai ser nosso -3. Então, negativo, negativo, e coloco o nosso 3 aqui. De novo, subtrair -3 é como quitar a dívida de alguém, que é necessariamente a mesma coisa que dar dinheiro, é o mesmo que somar 3 + 3, que é 6. Agora, o antigo filósofo se sente muito bem. Isso tudo não só é consistente com a matemática que você sabe, a propriedade distributiva, a propriedade associativa, multiplicar algo vezes algo. Tudo isso que já sabe e agora isso faz sentido conceitual para você. É, de fato, bem consistente com a sua noção original e outras noções possíveis de multiplicação, que é a adição repetida.