Raízes quadradas e números reais (antigo)

RKA - Temos aqui algumas expressões com radicais ou expressões com raízes quadradas. E o que iremos fazer é passar por todas elas e simplificá-las. Vamos discutir se são números racionais ou irracionais. Então, vamos começar com (a). (a) é igual a raiz quadrada de 25. Bom, isso é o mesmo que a raiz quadrada de 5 vezes 5, que, obviamente, é 5. Vamos focar nas raízes quadradas positivas. Vamos fazer (b). Vou fazer (b) em uma cor diferente para a raiz principal, que é a raiz quadrada positiva de um valor. Em (b), temos a raiz quadrada de 24. O que queremos fazer é a fatoração prima desses números. Temos 24 e vamos fazer a fatoração prima: isso é 2 vezes 12, 12 é 2 vezes 6, 6 é 2 vezes 3. A raiz quadrada de 24 é o mesmo que a raiz quadrada de 2 vezes 2 vezes 2 vezes 3. Isso é igual a 24. Vejamos. Temos um quadrado perfeito, bem aqui. Podemos reescrever isso. Isso é a mesma coisa que a raiz quadrada de 2 vezes 2 vezes a raiz quadrada de 2 vezes 3. Bom, isso claramente é 2, é a raiz quadrada de 4. Raiz quadrada de 4 é 2. E não podemos simplificar mais, não há outro número multiplicado por ele mesmo. Então, isso será a raiz quadrada de 6 ou podemos escrever isso como raiz quadrada de 2 vezes a raiz quadrada de 3. Eu disse que falaria sobre números racionais, ou não? Isso é racional, essa parte (a) pode ser expressa como a relação de dois inteiros. Isso é 5 sobre 1, isso é racional. Isso é irracional. Eu não vou provar neste vídeo, mas tudo que for produto de números irracionais, como a raiz quadrada de qualquer número primo, é irracional. Eu não vou provar aqui. Temos a raiz quadrada de 2 vezes a raiz quadrada de 3, isso é igual a raiz quadrada de 6: isso torna esse termo irracional. Não é possível expressar isso como algum tipo de fração. Também não é possível expressar como um inteiro sobre outro inteiro, como eu fiz ali. Não vou provar isso, só estou dando alguns exemplos. É uma maneira mais rápida de fazer. Você pode dizer: "4 cabe aqui, 4 é um quadrado perfeito. Vamos tirar 4 para fora. Isso é 4 vezes 6, a raiz quadrada de 4 é 2, deixo o 6 dentro e obtemos 2 raiz quadrada de 6". Eventualmente, você vai pegar prática, mas, primeiro, quero fazer sistematicamente. Vamos fazer a parte (c). Raiz quadrada de 20. De novo: 20 é 2 vezes 10, que é 2 vezes 5. Isso é o mesmo que raiz quadrada de 2 vezes 2 vezes 5. Agora, a raiz quadrada de 2 vezes 2. Isso, claramente, será 2. Será a raiz quadrada disso vezes a raiz quadrada daquilo. 2 vezes a raiz quadrada de 5. Mais uma vez, provavelmente você será capaz de fazer isso de cabeça com um pouco de prática. A raiz quadrada de 20 é 4 vezes 5. A raiz quadrada de 4 é 2, deixamos o 5 dentro do radical. Vamos à parte (d). Temos a raiz quadrada de 200. Mesmo processo. Vamos obter os fatores primos: temos 2 vezes 100, que é 2 vezes 50, que é 2 vezes 25, que é 5 vezes 5. Isso, aqui, podemos reescrever... Deixe eu rolar para a direita, um pouco. Isso é igual a raiz quadrada de 2 vezes 2 vezes 2 vezes 5 vezes 5. Temos um quadrado perfeito aqui. E a gente tem outro quadrado perfeito aqui. Então, se quisermos escrever todos os passos, teríamos a raiz quadrada de 2 vezes 2 vezes a raiz quadrada de 2 vezes a raiz quadrada de 5 vezes 5. A raiz quadrada de 2 vezes 2 é 2. A raiz quadrada de 2 é apenas a raiz quadrada de 2. A raiz quadrada de 5 vezes 5, que é a raiz quadrada de 25, será apenas 5. Podemos rearranjar isso: 2 vezes 5 é 10. 10 raiz quadrada de 2. De novo, isso é irracional, não podemos expressar como uma fração, com um inteiro e um numerador e denominador. Se, realmente, tentarmos expressar esse número, ele vai apenas continuar e continuar, sem nunca repetir. Vamos fazer a parte (e). Raiz quadrada de 2.000. Eu vou fazer aqui embaixo. Parte (e). Raiz quadrada de 2.000. Exatamente o mesmo processo que fizemos até agora. Vamos fazer a fatoração prima. Isso é 2 vezes 1.000, que é 2 vezes 500, que é 2 vezes 250, que é 2 vezes 125, que é 5 vezes 25, que é 5 vezes 5. E terminamos. Então, isso é igual a raiz quadrada de 2 vezes 2 Vou colocar entre parênteses. 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 vezes 5 vezes 5 vezes 5. Certo? Temos um, dois, três, quatro números 2 e, depois, três números 5. Isso será igual a... Bom, uma coisa que podemos ver é: posso escrever isso como 4, e isso é 4. Então, o 4 se repete. Isso é o mesmo que a raiz quadrada de 4 vezes 4 vezes a raiz quadrada de 5 vezes 5 vezes a raiz quadrada de 5. Então, isso aqui, obviamente, é 4. Isso aqui é 5. E vezes a raiz quadrada de 5. Então, 4 vezes 5 é 20 raiz quadrada de 5. E, novamente, isso é irracional. Vamos fazer o (f). Raiz quadrada de um quarto. Raiz quadrada de 1/4. (f) é a raiz quadrada de 1/4, que podemos ver que é o mesmo que a raiz quadrada de 1 sobre a raiz quadrada de 4, que é igual a 1/2, que é, claramente, racional. Pode ser expresso como uma fração. Então é, claramente, racional. Parte (g). É a raiz quadrada de 9 quartos. Mesma lógica. Isso é igual a raiz quadrada de 9 sobre a raiz quadrada de 4, que é igual a 3 sobre 2. 3 sobre 2. Vamos fazer a parte (h): raiz quadrada de 0,16. Bom, podemos fazer isso de cabeça se reconhecermos, imediatamente, que, se eu multiplicar 0,4 vezes 0,4, obtenho isso. Mas vou mostrar uma maneira mais sistemática de fazer, se isso não foi tão óbvio para você. Isso é o mesmo que raiz quadrada de 16 sobre 100, certo? Isso é 0,16. Então, isso é igual a raiz quadrada de 16 sobre raiz quadrada de 100, que é igual a 4 sobre 10, que é igual a 0,4. Vamos fazer mais alguns desse tipo. Parte (i). Parte (i) é a raiz quadrada de 0,1, que é igual a raiz quadrada de 1 sobre 10, que é igual a raiz quadrada de 1 sobre a raiz quadrada de 10, que é igual a 1 sobre 10. Agora, a raiz quadrada de 10. 10 é 2 vezes 5. Então, isso não ajuda muito; isso fica como raiz quadrada de 10, mesmo. Muitos professores de matemática não gostam que o aluno deixe o radical no denominador, mas já posso dizer que isso é irracional. Você vai ter decimais para sempre, pode tentar na calculadora e nunca vão se repetir. Sua calculadora vai te dar apenas uma aproximação porque, para dar um valor exato, teríamos de ter infinitos dígitos. Mas, se quiser racionalizar isso, só para mostrar, se quiser se livrar do radical no denominador, pode multiplicar isso pela raiz quadrada de 10 sobre a raiz quadrada de 10, certo? Isso é 1. A gente tem a raiz quadrada de 10 sobre 10. São frações equivalentes, mas as duas são irracionais. Se a gente pegar um número irracional e dividir por 10, ainda ficaremos com um número irracional. Vamos fazer o (j). Temos a raiz quadrada de 0,01. Isso é o mesmo que a raiz quadrada de 1 sobre 100, que é igual a raiz quadrada de 1 sobre a raiz quadrada de 100, que é igual a 1 sobre 10 ou 0,1. Novamente, isso é, claramente, racional, está escrito como uma fração. Isso aqui em cima também é racional: pode ser escrito e expresso como uma fração.