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Exemplo resolvido: equação modular com duas soluções

Como resolver a equação 8|x+7|+4 = -6|x+7|+6 que tem duas soluções possíveis. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Pediram para a gente encontrar o valor de "x". Vou reescrever essa equação para que os valores absolutos se destaquem. Isso é 8 vezes o valor absoluto de "x + 7" mais 4 (nesta mesma cor) é igual -6 vezes o valor absoluto de "x + 7" mais 6. A chave aqui... de primeira, parece ser um desafio... essa equação complexa, você tem esses valores absolutos, módulos nela... mas a forma de pensar é se pode solucionar a expressão do módulo ou valor absoluto. Poderia então... ele passa a ser um problema muito mais simples e você pode continuar daqui. Poderia tratar essa expressão. O valor absoluto de "x + 7" dá para tratar como uma variável e, uma vez que solucionar, ele vira um problema de valor absoluto muito mais simples. Vamos tentar. Vamos não tentar solucionar o "x" primeiro; vamos solucionar o valor absoluto de "x + 7". Quero ter todos os valores de "x + 7" do lado esquerdo. Então, eu quero me livrar desse do lado direito. A forma mais fácil para se livrar dele é somar 6 vezes o valor absoluto de "x + 7" do lado direito. Não podemos, é claro, só fazer isso do lado direito; se essas duas coisas são iguais e nos dizem que são, então, se somar algo desse lado, a única forma de manter a igualdade é fazendo o mesmo do lado esquerdo também. Então, mais 6 vezes o valor absoluto de "x + 7". E queremos que todos esses termos constantes fiquem do lado direito. Queremos nos desfazer desse 4 positivo. A forma mais fácil é subtrair o 4; mas, se fizer do lado esquerdo, tem que fazer do lado direito. O que tem agora? Nosso lado esquerdo... se tenho 8 de alguma coisa... e, nesse caso, alguma coisa é o valor absoluto de "x + 7"... mas, se tenho 8 de alguma coisa e somo 6 dessa mesma coisa, agora tenho 14 dessa coisa. Daí, será 14 valores absolutos de "x + 7" (14 vezes o valor absoluto de "x + 7"). O 4 e o -4 se cancelam. O "-6 |x + 7|" e o "6 |x + 7|" se cancelam, ou o valor absoluto de "x + 7" se cancelam. A gente tem "6 - 4", que dá 2. Então, será igual a 2. Como prometi, a gente quer solucionar o valor absoluto de "x + 7". Então, vamos dividir os dois lados por 14, porque assim a gente se livra desse coeficiente ali ou esse fator, como pode chamar o que está multiplicando o valor absoluto de "x + 7". Dá para dividir os dois lados por 14 e tem um valor absoluto de "x + 7 = 2/14". Os dois são divisíveis por 2, então é a mesma coisa que 1/7. Como prometi, solucionamos o valor absoluto de "x + 7". Mas realmente precisamos solucionar, precisamos encontrar o valor de "x". Se eu pegar o valor absoluto de algo e der 1/7, existem duas possibilidades de onde tenha tirado esse valor absoluto. Poderia ter tirado de 1/7 positivo ou poderia ter pego o valor absoluto de -1/7. Então, de onde estamos tirando o valor absoluto? "x + 7" poderia ser igual a 1/7 positivo ou "x + 7" poderia ser igual a -1/7. Pense um pouco. Se isso aqui fosse igual a 1/7, você pegaria o seu valor absoluto e seria 1/7. Se fosse -1/7, pegaria seu valor absoluto e seria +1/7. Então, foi assim que chegamos aqui. Vamos solucionar, calcular o valor de "x". Se subtrair 7 dos dois lados dessa equação, do lado esquerdo tem "x" igual a 1/7 menos... e dá para reescrever o 7 como 49/7, que é igual a -48/7. Essa é uma possibilidade para "x". A outra possibilidade que teria é "x" é igual a... então, tem -1/7 menos 49/7... (só estamos subtraindo 7 dos dois lados)... isso é 49/7 e nos leva a -50/7. Então, as duas soluções que a gente pensou ser uma equação complicada são -48/7 e -50/7.