Resolução de inequações modulares: frações

RKA - Temos o módulo de "2r - 3 ¼" é menor que "2 ½" e queremos calcular o valor de "r". A partir do início, temos que lidar com esse módulo. Como uma pequena revisão: se eu fosse dizer que o módulo de "x" é menor que... bom, vamos dizer, menor que "2 ½", isso significa que a distância de "x" até "0" é menor que "2 ½". Isso significa que "x" teria que ser menor que "2 ½". E "x" teria que ser maior que "2 ½ negativo". Pense nisso por um segundo. Se eu fosse desenhá-lo em uma reta numérica aqui. Que aqui seja "0", que aqui seja "2 ½", e que aqui seja "2 ½ negativo". Esses dois números estão, exatamente, "2 ½" distantes de "0", porque os dois módulos são "2 ½". Agora, se quisermos todos os números cujos módulos sejam inferiores a "2 ½", ou que sejam inferiores a "2 ½" de distância de "0", seriam todos os números entre eles. Isso é exatamente o que essas duas afirmações estão dizendo. "x" tem que ser menor que "2 ½" e tem que ser maior que "2 ½ negativo". Se esses módulos fossem outros e o módulo de "x" tivesse que ser maior que "2 ½", então seriam os números fora desse, e seriam alternativos. Mas estamos lidando com a situação "menor que". Vamos fazer o pudermos para descobrir quanto seria apenas um "x". A distância desse objeto até "0" tem que ser menor que "2 ½". A gente pode escrever que "2r - 3 ¼" tem que ser menor que "2 ½". E "2r - 3 ¼" tem que ser maior que "2 ½ negativo". O mesmo raciocínio aqui (deixa eu desenhar uma reta para que não fique confuso), o mesmo raciocínio: essa quantidade aqui tem que estar entre "2 ½ negativo" (ela tem que ser maior que "2 ½ negativo" ali), tem que ser menor que "2 ½". Então, isso é tudo o que eu escrevi. Vamos resolver cada um deles de forma independente. Examinaríamos esse primeiro aqui. Já aprendeu que não gosto de frações impróprias, nem de frações em geral. Vamos fazer todas essas frações. Desculpa, mas eu não gosto de números mistos, quero que sejam frações impróprias. Vamos transformar tudo em frações impróprias. Se eu fosse reescrever, teríamos "2r - 3 ¼". Seria o mesmo que 3 vezes 4, que é 12 mais 1, que dá 13. "2r - 13/4" é menor que... 2 vezes 2 é 4, mais 1 é 5... é menor que "5/2". Essa é a primeira equação. Na segunda pergunta, façamos a mesma coisa. Temos "2r -13/4" que tem que ser maior que "5/2 negativo". Tudo bem, vamos resolver cada uma delas independentemente. Para se livrar das frações, a coisa mais fácil a fazer é multiplicar os dois lados dessa equação por 4. Isso vai eliminar todas as frações. Então, vamos lá. Vamos multiplicar (deixa eu ir um pouco para a esquerda) E o que temos? 4 vezes "2r" é "8r". Quatro vezes "13 negativo" sobre quatro é "13 negativo", que é menor que... multipliquei por um número positivo (não tive que me preocupar em permutar a desigualdade)... que é menor que "5/2" vezes 4, que é 10, certo? Você tem 2 e 1, é 10. Você tem que "8r - 13" é menor que 10. Agora, podemos adicionar 13 aos dois lados da equação, de modo que, vamos nos livrar dela no lado esquerdo. Adicione 13 aos dois lados e temos "8r". Esses termos se cancelam, é menor que 23. Depois, dividimos os dois lados por 8. Mais uma vez, não tivemos que nos preocupar com a desigualdade, porque estamos dividindo por um número positivo. Temos que "r" é menor que "23/8"; ou, se quiser escrever na forma de número misto, "r" é menor que quanto? "2 ⁷∕₈". Essa é uma condição. Mas, ainda temos que nos preocupar com essa outra condição. Tem uma bem aqui. Vamos nos preocupar com isso. Nossa outra condição diz que "2r - 13/4" tem que ser maior que "5/2 negativo". Vamos multiplicar os dois lados por 4. Então, 4 vezes "2r" é "8r". 4 vezes "13 negativo" sobre 4 é "13 negativo"... é maior que "5/2 negativo" vezes 4, que é "10 negativo". Vamos adicionar 13 aos dois lados. No lado esquerdo, esses termos se cancelam. Você fica apenas com "8r" é maior que "10 negativo", mais 13, que é 3. Ou divida os dois lados por 8 e você ficará com "r" tem que ser maior que "3/8". Assim, nas nossas duas condições, "r" tem que ser menor que "2 ⁷∕₈" e maior que "3/8"; ou podemos escrever assim: "r" é maior que "3/8". Logo, é maior que... talvez deva dizer "3/8" é menor que "r", que é menor que "2 ⁷∕₈". Se fôssemos traçar a solução numa reta numérica, o que eu estou prestes a fazer. (aí está a minha reta numérica... isso aqui é o "0"... talvez aqui seja 1, 2 e 3)... Temos "2 ⁷∕₈"; tem que ser menor que "2 ⁷∕₈". Digamos que esse seja o "2 ⁷∕₈" aqui. E tem que ser maior que "3/8". Digamos que seja "3/8". "3/8" será em algum lugar aqui. Tudo o que estiver no meio é uma solução válida. Poderíamos experimentar. Vamos tentar algo que, com base no que desenhei, deva ser uma solução válida. 1 deve ser uma solução válida. 2 vezes 1 menos "3 ¼". O que é isso? Isso é "2 - 3 ¼". quanto dá isso? "2 - 3 ¼" é... bom, "3 ¼" menos 2, é "1 ¼". Será "1 ¼ negativo", mas estamos pegando o módulo disso. Então, a gente pega o módulo, que é igual a "1 ¼", que é, de fato, menor que "2 ½". Agora, vamos tentar outro número, o "0". Com base nisso, "0" não funcionaria. O que acontece se colocarmos "0" aqui? Você tem 2 vezes "0", que é 0", "-3 ¼". Se pegar o módulo de "3 ¼ negativo" terá "3 ¼ positivo", que não vai funcionar. "3 ¼" é maior que "2 ½". Então, é verdade, funciona! E o mesmo para três: 2 vezes 3 é 6, menos "3 ¼" é "2 ¾". Pegue o módulo. É "2 ¾" ainda maior que "2 ½". Então não vai funcionar. Pelo menos os pontos que testamos parecem validar essa solução que temos.