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Introdução a inequações modulares

Neste vídeo, apresentamos o conceito de inequações que contêm expressões com valores absolutos, e resolvemos alguns exemplos. Criado por Sal Khan e Fundação CK-12.

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Transcrição de vídeo

RKA - Agora quero resolver algumas desigualdades que também têm valores absolutos. E, se tem algum tópico em álgebra que confunde muito as pessoas, provavelmente, é esse. Mas, se a gente mantiver o foco no significado de valor absoluto, acho que vai entender que não é tão ruim assim. Vamos começar com um bom e bem simples para aquecer. Vamos começar com um valor absoluto de "x" é menor que 12. Lembre-se do que eu disse sobre o significado de valor absoluto, ele significa quanto você está distante de zero. Portanto, uma forma de dizer é: o que são todos os "x" que são menores que 12, a partir do zero? Vamos desenhar numa reta numérica. Se tem zero aqui, e queremos todos os números que são menores que 12 a partir do zero, bom, dá para percorrer tudo até o +12 e percorrer até o -12. Nada que esteja entre esses dois números vai ter um valor absoluto menor que 12. Vai ser menor que 12 a partir do zero. Por isso, você pode falar que todos os números onde "x" é maior que -12, esses definitivamente têm um valor absoluto menor que 12 ao mesmo tempo em que são, e "x" tem que ser menor que 12. Se um "x" tem essas duas limitações, seu valor absoluto, definitivamente, vai ser menor que 12. Você pega o valor absoluto de -6 e é apenas 6 a partir do zero. O valor absoluto do -11 é apenas 11 a partir do zero. Alguma coisa aqui, estes dois limites, satisfará à inequação. E, na verdade, a gente já resolve porque esta é uma equação de apenas um passo. Mas acho que isso define uma base para os próximos problemas. Eu poderia mesmo escrever assim: na notação do intervalo, seria tudo entre o -12 e o +12 não incluindo aqueles números. Ou poderia escrever dessa forma: "x" é menor que 12 e é maior que -12 e essa é a solução. Agora vamos fazer um pouco mais complicado que permite pensar um pouco mais. Digamos que tenha valor absoluto de 7x. é maior que ou igual a 21. Agora nem precisa pensar sobre o que tem dentro do sinal de valor absoluto, o que significa para que o valor absoluto de qualquer coisa seja maior que ou igual a 21? Significa que o que quer que esteja dentro desse sinal de módulo ou valor absoluto, o que quer que esteja dentro desse nosso sinal de módulo tem que ser 21 ou mais a partir do zero. Vamos desenhar nossa reta numérica e realmente é melhor visualizar uma reta numérica quando faz para nunca mais se confundir. Não precisa memorizar nenhuma regra. Vamos desenhar o zero aqui. Vamos fazer o 21. E vamos fazer um -21. Queremos todos os números, o que quer que seja que são maiores que ou iguais a 21. Eles são maiores que 21 a partir do zero. Seu valor absoluto é maior que 21. Bom, todos esses números negativos que são menores que menos 21, quando pega seu valor absoluto, quando você elimina o sinal negativo ou quando encontra sua distância a partir do zero, todos vão ser maiores que 21. Se você pega o valor absoluto do -30, vai ser maior que 21. Da mesma forma, aqui, qualquer número maior que o +21 também terá um valor absoluto maior que 21. O que poderia dizer é que 7x precisa ser igual a um desses números ou 7x precisa ser igual a um desses números aqui. Então, poderia escrever 7x precisa ser um desses números, quais são esses números? Esses são todos os números que são menores que ou iguais a -21. Ou 7x, vou fazer uma cor diferente, ou 7x tem que ser um desses números e significa que 7x tem que ser maior que ou igual a +21. Realmente, quero que compreendam o que está acontecendo. Se o seu valor absoluto é maior que ou igual a 21, significa que o que está dentro do valor absoluto tem que estar alinhado com o maior que mais 21 ou menor que o -21. Porque, se for menor que o -21, quando pegar seu módulo vai ser maior que 21 a partir do zero. Espero que faça sentido. Vamos fazer vários desses problemas práticos para entrar no seu cérebro. Mas, uma vez que você tem essa configuração, e isso se torna uma desigualdade composta, divida os dois lados dessa equação por 7. Tem que "x" é menor que ou igual a -3. Ou divido os dois lados disso por 7, tem "x" é maior que ou igual a 3. Quero que fique bem claro, o que desenhei aqui não era a solução, mas é a representação do que os 7x tinha que ser igual. Só queria que visualizasse o que significa ter o valor absoluto maior que 21, maior que 21 a partir do zero. Esta é a solução. "x" tinha que ser maior que ou igual a 3 ou menor que ou igual a -3. Então, a solução real para esta inequação, vou desenhar uma reta numérica. Digamos que é zero, isso é 3, isso é -3. "x" tinha que ser maior que ou igual a 3. Este é o sinal de igualdade. Ou menor que ou igual a -3. -3. E acabamos. Vamos fazer mais alguns desses porque eles são confusos. Mas se você realmente começa a pegar a essência do que valor absoluto, de fato, quer dizer, eles se tornam mais intuitivos. Digamos que tenha valor absoluto. Vou pegar um bom. Vamos dizer que o valor absoluto de 5x mais 3 é menor que 7. Daí, o que quer que esteja dentro do nosso sinal de valor absoluto, tem que ser menor que 7 a partir do zero. Assim, as formas de ser menor que 7 a partir do zero, vou desenhar uma reta numérica, as maneiras de ser menor que 7 a partir do zero, dá para ser menor que 7 e maior que -7, certo? Você tem que estar nesse limite. Como objetivo de satisfazer dentro do sinal de valor absoluto tem que ser dentro do sinal de módulo ou valor absoluto que é 5x mais 3. Tem que ser maior que -7 e tem que ser menor que 7 para que seu valor absoluto seja menor que 7. Se esse 5x mais 3 estiver em qualquer lugar por aqui, seu valor absoluto, sua distância do zero vai ser menor que 7. Assim, já podemos resolver isso. Você subtrai 3 de cada lado, 5x é maior que -10. Divide os dois lados por 5. "x" é maior que -2. Subtrai 3 de cada lado, 5x é menor que 4. Divide os dois lados por 5 e tem "x" é menor que quatro quintos. Depois, dá para delinear nossa solução. Tem que ser maiores que -2, não maior que ou igual a, e menor que quatro quintos. Portanto, pode parecer com uma coordenada mas também é uma notação de intervalos, se estamos dizendo que todos os "x" estão entre os -2 e quatro quintos. Ou pode escrever que todos os "x" são maiores que -2 ou menores que quatro quintos. Esses são os "x" que satisfazem esta inequação. E realmente quero que você absorva o que se vê aqui. Agora já deve estar visualizando uma regra aqui. E não quero que apenas memorize, mas eu vou te passar, caso queira. Se tem algo como f(x). O valor absoluto de f(x) é menor que, digamos algum número, "a". Esta é a situação. Tem f(x) menor que "a" que significa que o valor absoluto do f(x) ou f(x) tem que ser menor que o "a" partir do zero. Então significa que f(x) tem que ser menor que o +a, positivo, ou maior que o "-a". Isso nos leva a isto, que nos leva a f(x) maior que o "-a" e f(x) menor que o "a". Mas vem da mesma lógica, isso tinha que representar algo que é menor que o "a" partir do zero. Agora, se a gente vai para o outro lado, se tem algo como f(x) é maior que "a", significa que esse tem que representar algo que está além do "a", se afastando do zero. Então, significa que f(x) é exatamente maior que o "+a" ou f(x) é menor que "-a", certo? Se é menor que "-a", talvez seja -"a" menos 1, outro... ou -5 mais "-a". Depois, quando você pega seu módulo ou valor absoluto vai se tornar "a" mais 5, por isso, seu valor absoluto vai ser maior que "a". Então, se quisesse, poderia memorizar, mas realmente quero que pense como sendo o mesmo que dizer: "Tá. Isso tem que representar, ser menor que o "a" se distanciando do zero. Tem que ser mais do que o "a" se distanciando do zero." Vamos fazer mais um porque eu sei que pode ser um pouco confuso e te incentivo a assistir a esse vídeo de novo e de novo, de novo. Digamos que tem o valor absoluto de 2x. Vou fazer outro aqui, vou fazer mais difícil. Digamos que o valor absoluto de "2x" sobre 7, mais 9 é maior que cinco sétimos. Então, tem que representar algo que seja maior que cinco sétimos a partir do zero. 2x sobre 7, mais 9 poderia ser, exatamente, maior que cinco sétimos. Ou menor que menos cinco sétimos. Porque, se é menor que menos cinco sétimos, o seu valor absoluto vai ser maior que cinco sétimos. Ou ainda, 2x sobre 7, mais 9 vai ser menor que menos cinco sétimos. Vamos fazer essa situação. Depois, apenas resolvemos essas duas inequações. Se subtrair, vamos apenas multiplicar tudo por 7 só para eliminar esses denominadores. Então, se multiplica os dois lados por 7, tem 2x mais 9 vezes 7 que é 63, é maior que 5. Vamos fazer aqui também. Vai ter 2x mais 63 é menor que -5. Vamos subir 63 de cada lado e você tem 2x, vamos ver, 5 menos 63 é 58. 2x é maior que 58. Se subtrai 63 de cada lado, tem 2x é menor que -68. Acabei de perceber que eu errei. Você subtrai 63 de cada lado. 5 menos 63 é -58. Não quero cometer um erro por descuido. Depois, divide cada lado por 2, você tem, nesse caso, "x" é maior que, você não tem que mudar a desigualdade porque estamos dividindo por um número positivo, -58 sobre 2 é -29. Ou aqui, se divide os dois lados por 2, "x" é menor que -34. 68 dividido por 2 é 34. Assim, na reta numérica, a solução para esta inequação se parece com isso. Esta é a minha reta numérica, tenho -29, tenho -34. A solução é: posso ser maior que 29, não maior ou igual, então maior que 29 que está bem aqui. Ou, posso ser menor que -34. Qualquer dessas vai satisfazer essa desigualdade com o módulo ou valor absoluto.