Inequações compostas: exemplos

RKA - Vamos fazer alguns problemas de desigualdade composta. Esses problemas de desigualdade têm mais de um grupo de limites, ou uma dupla desigualdade. Você vai entender do que eu estou falando. Então, o primeiro problema que tenho é: -5 é menor ou igual a x menos 4 que é, também, menor ou igual a 13. Temos dois grupos de limites no grupo de x que satisfaz essas inequações: x - 4 tem que ser maior ou igual a -5 e x - 4 tem que ser menor ou igual a 13. Então, podemos reescrever essa desigualdade composta como: -5 tem que ser menor ou igual a x - 4 e x - 4 tem que ser menor ou igual a 13. Daí, podemos resolver cada um separadamente. Temos que lembrar desse "e" para pensar na solução porque tem que ser algo que satisfaça essa inequação "e" essa inequação. Vamos resolver cada uma individualmente. Esse aqui podemos somar 4 nos dois lados da inequação. Vamos somar 4 nos dois lados da equação: o lado esquerdo - 5 + 4 é igual a -1. -1 é menor ou igual a x, certo? Esses quatro podem ser cancelados e você fica com um x desse lado direito, então, à esquerda, essa parte bem aqui simplifica para: x tem que ser maior que ou igual a -1 ou -1 é menor ou igual a x. A gente também pode escrever assim: x tem que ser maior ou igual a -1, esses são equivalentes, só troquei de lado. Agora, vamos fazer outra condição em verde aqui, vamos somar 4 dos dois lados dessa inequação. Somando quatro dos dois lados dessa inequação, no lado esquerdo, temos só um x e, então, o lado direito tem 13 mais quatro que é 17. Então, temos x é menor ou igual a 17. Nossas duas condições: x tem que ser maior ou igual a -1 e menor ou igual a 17. Podemos escrever isso, de novo, como uma desigualdade composta, se quisermos, podemos dizer que a solução pede que x tem que ser menor ou igual a 17 e maior ou igual a -1. Tem que satisfazer as duas condições. Como isso apareceria numa reta numérica? Vamos colocar nossa reta numérica bem aqui. Digamos que isso seja 17, talvez, aqui seja 18, talvez, esse seja 0. Obviamente, estou pulando várias coisas aqui no meio, teríamos -1 bem ali, talvez, um - 2. x é maior ou igual a -1. Então, podemos começar com o -1, vamos circular e pintá-lo porque temos um sinal de maior ou igual a e, é maior que isso, mas tem que ser menor ou igual a 17. Tem que ser igual a 17 ou menor de 17. Tudo que pintei de laranja é uma solução e, se quisermos escrever em forma de intervalo seria: x está entre -1 e 17 e pode, também, ser igual a -1. Colocamos um colchete, também pode ser igual a 17. Essa é a forma de intervalo para essa desigualdade composta bem aqui. Vamos fazer outra, deixa eu pegar um bom problema aqui. Digamos que temos -12, vou mudar um pouco o problema em relação ao que eu encontrei aqui, -12 é menor que 2 menos 5x que é menor ou igual a 7. Quero fazer um problema que tenha só o sinal de menor, que é um sinal de menor ou igual a. No livro que eu tô olhando, o problema tem um sinal de igual, mas que tirar, intencionalmente, porque eu quero te mostrar uma situação diferente, quando tem um pouco de cada. Primeiro, podemos separar isso em duas desigualdades normais: você tem essa desigualdade aqui, a gente sabe que -12 precisa ser menor que 2 menos 5x. Tem que ser satisfeita e, deixa fazer de outra cor, essa inequação também precisa ser satisfeita: 2 menos 5x tem que ser menor que 7 e maior que 12. Menor que o igual a 7 e maior que -12. Então, 2 menos 5x tem que ser menor ou igual a 7. Só vamos resolver do jeito que resolvemos tudo. Vamos colocar esse dois do lado esquerdo aqui e subtraímos 2 dos dois lados dessa inequação. Se subtrair 2 dos dois lados dessa inadequação, o lado esquerdo fica -14 é menor que, esses cancelam, menor que -5x. Agora, vamos dividir os dois lados por -5 e, lembre-se: quando multiplicar ou dividir por um número negativo, temos que inverter a desigualdade. Se eu dividir os dois lados por -5, você tem -14 sobre -5 e tem um x do lado direito, se dividir isso pelo -5 e trocar isso de um sinal de "menor que" para um sinal de "maior que", os negativos se cancelam, então, você tem 14 sobre 5 é maior que x ou x é menor que 14 sobre 5 que é, o que é isso? Isso é 2 e 4 quintos, x é menor que 2 e 4 quintos. Só escrevi essa fração imprópria como o número misto. Agora, vamos resolver a outra inequação. Aqui, em roxo, vamos subtrair dois dos dois lados dessa inequação como fizemos antes, na verdade, pode fazer os dois simultaneamente, mas fica meio confuso, para evitar erros bobos te encorajo separar assim. Se subtrair dois dos dois lados dessa inequação, lado esquerdo fica: -5x, o lado direito você tem menor ou igual a, fica 7 menos 2 dá 5. Agora, vamos dividir os dois lados por -5: do lado esquerdo tem um x, do lado direito, 5 dividido por - 5 é -1 e, uma vez que dividimos por um número negativo, trocamos a desigualdade, vai de "menor ou igual a" para "maior ou igual a". Temos, então, duas limitações: x tem que ser menor que dois e quatro quintos e tem que ser maior ou igual a -1. Podemos escrever assim: x tem que ser maior ou igual a -1, então, esse seria o limite inferior do nosso intervalo e, tem que ser menor que dois e quatro quintos. O x tem que ser menor que dois e quatro quintos. Perceba, não é menor ou igual a, é por isso que eu queria mostrar, você tem os parêntesis ali porque não pode ser igual a dois quintos, x tem que ser menor que dois e quatro quintos ou, podemos escrever assim: x tem que ser menor que 2 e 4 quintos, isso é só essa desigualdade trocando de lado e tem que ser maior que ou igual a -1. Essas duas afirmações são equivalentes e, se formos desenhar em uma reta numérica, seria desse jeito: você tem -1, tem 2 e 4 quintos aqui e, obviamente, vai ter coisas aqui no meio , talvez, seja 0 aqui. Tem que ser maior que ou igual a -1, então, pode ser igual a -1. Vai ser maior que -1, mas, também, tem que ser menor que 2 e 4 quintos. Podemos incluir 2 e 4 quintos ali. Não pode ser igual a 2 e 4 quintos, então, só pode ser menor. Colocamos um círculo vazio em volta do 2 e 4 quintos e preenchemos tudo abaixo disso até o -1 e incluímos o -1 porque temos esse sinal de menor ou igual. Os últimos dois problemas que fiz são do tipo "e", tem que atender as duas inequações. Agora, vamos fazer um problema "ou". Um problema com "ou". Digamos que eu tenha essas desigualdades. Digamos que que me foi dado que 4x menos 1 tem que ser maior ou igual a 7 ou 9x sobre 2 tem que ser menor que 3. Agora, quando dizemos "ou" são os x que satisfazem qualquer uma dessas equações. Nos últimos vídeos ou nos últimos problemas, tivemos que achar o x que satisfizesse as duas inequações. Aqui, isso é muito mais fácil, temos que satisfazer uma dessas duas. Vamos achar a solução para as duas e, então, achamos, essencialmente, a união delas, a combinação, todas as coisas que vão satisfazer qualquer uma delas. Essa do lado esquerdo, podemos somar um dos dois lados. Nós somamos um dos dois lados, o lado esquerdo fica 4x é maior que igual a 7 mais um dá 8, divida os dois lados por quatro, tem x é maior ou igual a 2, ou vamos fazer esse. Vejamos se multiplicarmos os dois lados dessa inequação por 2 nonos, o que temos? Se multiplicarmos os dois lados por dois nonos é um número positivo, então, não precisamos fazer nada com a desigualdade, eles se cancelam e, você tem x é menor que 3 vezes 2 nonos. 3 sobre 9 é o mesmo que 1 sobre 3, então, x tem que ser menor que 3 terços. Então, ou x é menor que dois terços essa é a nossa solução. x tem que ser maior ou igual a 2 ou menor que 2 terços. Isso é interessante! Vamos desenhar a solução na reta numérica. Deixa eu desenhar nossa reta numérica, essa é nossa reta numérica, aqui deve ser 0, aqui 1, aqui 2, 3, talvez, aqui seja -1, então, x pode ser maior ou igual a 2. Podemos começar, deixa usar outra cor, podemos começar em 2 aqui e, seria maior ou igual a 2, incluímos tudo maior ou igual a 2. Essa é a condição aqui. Ou x poderia ser menor que 2 terços. x poderia ser menor que 2 terços. 2 terços está bem por aqui, não é? Isso é 3 terços. "x" poderia ser menor que dois terços. Isso é interessante porque, se escolhermos, qualquer um desses números vai satisfazer essa desigualdade, se escolhermos um desses números, vai satisfazer aquela desigualdade. Se tivéssemos um "e" aqui, não teria números para satisfazer porque não tem como ser maior que 2 e ser menor que 2 terços. Então, o único jeito de haver qualquer solução aqui é por causa do "ou" pode satisfazer uma dessas duas desigualdades. Espero que tenha se divertido!