Desafios com números complexos: determinante complexa

RKA14C Olá pessoal, prontos para mais um exercício? Seja "ω" o número complexo: "cos (2π sobre 3) mais i sen (2π sobre 3)". Sendo assim, quantos números complexos diferentes "z", satisfazem a equação que é o determinante dessa matriz 3x3, "sen = 0"? Ou seja, quantos valores diferentes "z" pode assumir para que esse determinante seja igual a zero? Para começar, vamos calcular este determinante aqui. Você pode usar o método que você bem entender para calcular o determinante. Pode usar aquela famosa Regra de Sarrus ou Esquema de Sarrus. Eu vou usar o Teorema de Laplace. Vou pegar primeiro este carinha aqui, "z + 1", e vou multiplicar pela matriz que sobra quando eu tiro a linha e a coluna do número que eu circulei aqui. Essa matriz a gente chama de Menor Complementar. Então, vai ficar: "z + 1", que multiplica este determinante aqui. E basta fazer esse produto, depois retirar este produto aqui. Vamos lá! Então fica: "z + ω²" multiplicado por "z + ω", menos... "1 vezes 1" dá 1. Então, essa foi a primeira parte. Limpando aqui um pouquinho, agora, vou pegar esse "ω" e fazer a mesma coisa. Tiro a linha, tiro a coluna e faço o "ω", só que agora vou subtrair, vezes o determinante desta matriz 2x2 aqui. Então, vai ficar "ω vezes z + ω", eu já vou distribuir aqui para ajudar um pouquinho. Então, vai ficar: "ω vezes z + ω²" menos "1 vezes ω²", que é igual a "ω²". Limpando aqui de novo, agora eu vou fazer o mesmo com o "ω²". Novamente, cancelo essa linha e essa coluna e faço: mais "ω²" multiplicado pelo determinante dessa matriz 2x2 que sobrou. Então, vezes... "ω vezes 1" é igual a "ω", subtraído, já distribuindo aqui, "ω²z - ω⁴". E isso, claro, é igual a zero. Bom, continuando a nossa conta aqui, vamos desenvolver essa expressão para saber onde vai parar. Bom, desenvolvendo aqui, fazendo a distributiva, vou ter: "z² + zω + zω² + ω³ - 1". É claro que isto aqui está multiplicado por "z + 1". Bom, já que estamos aqui nesta parte azul, vamos aproveitar e continuar nela. Vamos distribuir agora o "z + 1". Vamos fazer primeiro "z" vezes os parênteses aqui. Então, vai ficar: "z³ + z²ω + z²ω² + zω³ - z". E 1 vezes os parênteses vai ser o próprio número. Então, mais "z² + zω + zω² + ω³ - 1". Vamos agora desenvolver esta parte em verde, que já temos presente, pois podemos cancelar este "ω²" com este aqui. Um menos o outro dá zero. E vamos distribuir este carinha. Então, vai ficar "-ω²z". Na parte rosa, teremos aqui: mais "ω³ - ω⁴z - ω⁶". E, claro, toda essa expressão tem que ser igual a zero. Temos um monstrinho aqui. Para tentar deixar mais fácil de trabalhar, vou tentar agrupar as potências de "z". Começando aqui com todo mundo que tem "z³". Então, aqui tem um "z³"... Parece que é o único lugar com "z³". Então, "z³" aqui. Mais... Vamos agrupar agora que tem "z²". Tem "z²" aqui, "z²" aqui, aqui tem outro... Ahm... Parece que acabaram os "z²". Então, vai ficar "z²", que multiplica "ω² + ω + 1". Agora eu vou pegar todo mundo que está multiplicado por "z¹". Então, temos este "zω³", este "-z", este "zω", "zω²", "-ω²z"... Opa, mas esses caras são opostos! Aqui, já posso até cancelá-los. E tem também "-ω⁴z". Colocando aqui, então, os nossos "z" em evidência, vai ficar: "-ω⁴", já usei, mais "ω³", mais este "ω" aqui. Com este cara aqui temos um -1, e eu finalizo os múltiplos de "z". E o que sobrou para mim aqui, moçada? Sobraram os termos que não são múltiplos de "z". Então, temos aqui este "-ω⁶"... Já usei. Olha só, temos dois "ω³", então, tem "ω³" aqui e aqui. Mais dois "ω³'. Por fim, acho que já prestei atenção em toda a minha expressão. E isto aqui vai dar zero. Olha só, temos aqui uma expressão bem cabeluda, bem complicada. Agora imagina quando substituirmos o "ω" por esta expressão aqui. Então, é por isso que vou usar a relação de Euler e escrever o meu número complexo como "e" elevado a "θ vezes i", onde "θ" é justamente o argumento. Portanto, pessoal, o nosso "ω" vai ser, para mim, "e" elevado a "2π sobre 3 vezes i". Bom, aqui, isso não vai me ajudar muito. Isso vai me ajudar mais quando eu estiver trabalhando com as potências do "ω"... Mas vamos escrever o meu "ω" na sua forma "a + bi". Para isso, vamos pegar aqui um rascunho, em um pedacinho, a minha circunferência unitária. Está aqui a circunferência unitária. "2π sobre 3 rad" equivale a 120º. Então, 120º vai ser mais ou menos aqui. O que nos resta para cá são 60º. Certo? Então, o valor do cosseno e do seno do "2π sobre 3" vai ser equivalente ao do 60º, só que respeitando os sinais, por exemplo: o cosseno que está aqui embaixo vai ser negativo, e o seno vai ser positivo. Cosseno de 60 é 1/2, e aqui vai ficar -1/2, justamente por causa do quadrante em que está o ângulo. E o seno vai ser "√3 sobre 2". Portanto, temos aqui que este meu "ω" vai ser -1/2 somado com "√3 sobre 2 vezes i". Vamos ganhar um pouco de espaço e ver o que acontece no "ω²". O "ω²" vai ser "e" elevado ao dobro desta potência. Então, vai ficar "4π sobre 3 vezes i". O dobro porque a gente multiplica o 2 vezes a potência aqui. Então, isso vai ser "cos 4π sobre 3" mais "i sen 4π sobre 3". Bom, "4π sobre 3" é 240º. 240º é aqui. Se formos ver, são 60º para baixo de 180, então também é um equivalente do ângulo de 60º. Só que aqui é o cosseno negativo, e o seno também é aqui para baixo, o seno também é negativo. Portanto, o cosseno vai ser -1/2. E o seno vai ser "-√3 sobre 2", também multiplicado aqui por "i". Vamos ver o que acontece aqui com o nosso "ω³"? O "ω³" vai ser igual, novamente, a "e" elevado a 3 vezes esta potência aqui. Então, vai ficar "e" elevado a "2π vezes i". Pela identidade de Euler, isso vai ser "cos 2π + i sen 2π". Mas "sen 2π" é zero! E "cos 2π" é igual a 1. Então, este número dá 1. Agora, vamos usar o "ω⁴", afinal ele aparece aqui. Isso vai ser "e" elevado a "8π sobre 3". Mas "8π sobre 3", olha só que interessante... Aqui temos "2π sobre 3", aqui vai ter "4π sobre 3", aqui vem o "2π", e o "8π sobre 3" vai voltar a este lugar aqui. Vai ser essencialmente o mesmo ângulo que o "2π sobre 3". Então, já posso usar esse resultado. Este cara aqui vai ser: "-1/2 + √3 sobre 2 vezes i". E, para finalizar os nossos "ω", vamos pegar o "ω⁶", mas "ω⁶" é "(ω³)²". Como "ω³" é igual a 1, isso ao quadrado também vai ser 1. Beleza! Terminamos de ver os "ω". Vamos agora substituir aqui, e rezar para que tenha algum tipo de cancelamento, alguma simplificação para deixar essa expressão mais agradável. Bom, para começar, temos aqui este "ω²", que estamos vendo que é "-1/2 - √3 sobre 2i", somado com "ω". E "ω" é "-1/2 + √3 sobre 2i". Olha que maravilha! Este cara cancelou com este cara. -1/2 com -1/2 dá -1, e "-1 + 1"... Opa, também foi embora! Então, este termo aqui essencialmente é zero. Já nos ajudou. Vamos para este próximo carinha aqui. Já quero que você comece prestando atenção no seguinte: "ω⁴" e "ω" têm o mesmo valor. Então, eu tenho este cara e um cara com o mesmo valor de sinal trocado. Então, eles se cancelam. E o "ω³"? Bom, o "ω³" vale 1. "1 - 1": esse termo também vale zero. Vamos agora para esta parte em verde. O "ω⁶" dá 1, então, aqui vai ficar "-1 + 2" vezes... O ω³ vale 1, então, vai ficar 2 aqui com esse -1. Olha, "-1 + 2 - 1": também dá zero essa parte. Então, todo este monstrinho aqui, toda essa coisa cabeluda vai se resumir a "z³ = 0". Olha só que maravilha! Mas, veja bem: um número elevado ao cubo dando zero. O único número que elevado a alguma potência dá zero, não importa se é real, se é complexo, é o próprio zero. Portanto, o nosso "z" só pode ser igual a zero. Essa é a única solução. Bom, mas ele não perguntou o valor de "z"... Vamos ver o que ele perguntou mesmo, vamos lembrar. Está aqui o problema. Ele perguntou quantos números complexos diferentes "z" satisfazem a equação. Então, quantos "z" diferentes nós temos? Bom, temos só um "z" que satisfaz a equação, que é "z = 0". Então, esta equação aqui tem apenas uma resposta. Então, 1 é o nosso resultado. Ok, pessoal? Espero que tenham gostado. Até o próximo vídeo!