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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 16
Lição 11: Enfrentando problemas envolvendo números complexosDesafios com números complexos (1 de 3)
Artigo 1 Problema 39 do exame desafio IIT JEE de 2010, sobre números complexos. Versão original criada por Sal Khan.
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- poxa... onde eu posso ficar sabendo mais sobre equações modulares?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA4JL – Olá, pessoal!
Prontos para mais um exercício? Sejam z₁ e z₂
dois números complexos distintos. Seja "z" igual a (1 menos t)
multiplicado por (z₁ mais t vezes z₂). Essa relação é importante, onde "t" é um número real
tal que ele está entre zero e 1. Arg(w), ou seja,
essa funçãozinha denota o principal argumento
de um número complexo não-nulo "w" e ele me mostra quatro afirmações para eu tentar verificar se são verdadeiras ou falsas. Só para deixar mais claro
o que é essa funçãozinha aqui, temos aqui nosso diagrama
de Argand-Gauss onde aqui é a parte imaginária,
aqui é a parte real e aqui nosso número
"z" qualquer. Esse "Arg" vai ser o argumento
do meu x, ou seja, o ângulo entre
a parte real positiva e o meu vetor
que representa "z". Este φ, este ângulo φ
é o argumento, então sempre que ele colocar
"Arg" de um número, igual aqui, ele está pedindo o argumento
desse número, o ângulo entre
a parte positiva do eixo real e o vetor que representa "z". Vamos então, pessoal, ver quais dessas afirmações
são verdadeiras, começando pela afirmação (A). Será que essa expressão a
é verdadeira? Para isso, é melhor
que a gente a desenvolva e veja se a parte esquerda
é igual à parte da direita. Vou pegar primeiro
esse pedacinho aqui. Portanto o que seria
módulo de | z menos z₁ |? O meu "z" é esse negócio aqui
que ele colocou no nosso enunciado. Portanto, vai ficar
módulo de "z"... "z" é isso, então vou distribuir
esse carinha aqui. Então vai ficar z₁ menos z₁t
somado com tz₂. E agora
eu vou subtrair z₁, então menos z₁.
Tudo aqui dentro desse módulo. Poxa, z₁ aqui
menos z₁ aqui, a gente pode cancelar
esses caras. Olhe só: agora eu posso colocar
esse "t" em evidência, então vai ficar módulo de "t"
que multiplica z₂ menos z₁ OK, pessoal? Portanto, módulo de | z menos z₁ |
é a mesma coisa que módulo de "t"
que multiplica z₂ menos z₁. Vamos agora calcular
esse carinha aqui. Módulo de | z menos z₂ |. Aqui vai ser o módulo de z menos...
(vamos trocar a cor aqui) z₂. Abrindo o módulo.
Como a gente viu, "z" é esse negócio aqui, então vamos escrever 1 menos tz₁
somado com tz₂ e disso eu subtrai z₂,
não é? Antes de continuar, deixe-me apagar
esse negócio aqui que está me atrapalhando. Pessoal, perceba que tenho z₂
nesse termo e nesse termo, então posso colocá-lo
em evidência também. Para começar, eu tenho aqui,
abrindo o módulo, o nosso (1 menos t)
que multiplica z₁ e agora, colocamos z₂
em evidência e vamos ter "t" menos 1
que multiplica z₂, não é verdade? Agora que eu vi quanto vale esse
e quanto vale esse, eu vou somá-los. Eu tenho aqui o módulo de "t"
que multiplica z₂ menos z₁ e ele está somado
com esse rapazinho aqui. Vou tentar escrever aqui embaixo
esse mesmo número, simplificando ainda mais
o nosso valor. Para isso, olhe só: esse cara aqui,
(1 menos t) que multiplica z₁, ficaria muito conveniente
para a gente se aqui também fosse (1 menos t), não é verdade? A gente poderia fazer
um fator comum. Porém, está "t" menos 1.
Mas não tem problema. Se ao invés de "mais"
eu colocar aqui "menos", eu posso escrever como (1 menos t), afinal, se eu distribuir esse "menos",
volta a ficar -1 e aqui volta a ficar mais "t". Então não vai ter
diferença nenhuma. Isso aqui, então, está multiplicado
por z₂. E fechamos o módulo. Olhe que maravilha. Agora, basta eu colocar em evidência esse (1 menos t). Colocando aqui embaixo
em evidência, então fica módulo de (1 menos t)
que multiplica z₁ menos z₂. Fechando aqui.
E só para ficar bonitinho, vou pegar esse cara
e colocar aqui embaixo. Continuando, e para isso vou ganhar
um pouquinho mais de espaço aqui. Lembrando algumas propriedades
de módulo: quando eu tenho um produto,
eu posso separar os módulos. Esse aqui eu posso escrever como módulo de "t" vezes
módulo de z₂ menos z₁ mais... Aqui também: nesse produto
eu posso separar os módulos, lembrando que isso só vale no produto,
pois na soma a gente não separa. Então isso fica
como módulo de (1 menos t) multiplicado por módulo
de z₁ menos z₂. Mas olha só, pessoal:
esse "t" é um escalar. Um escalar, inclusive,
que está entre zero e um. Então é, com certeza,
um número positivo. Então posso escrever esse "t" aqui
sem problema algum, certo? Isso estará multiplicando
z₂ menos z₁. E eu posso concluir que (1 menos t)
também é um número positivo, não é? Por quê? Porque "t" é um número maior
que zero, só que menor que 1. Então, 1 menos um número positivo
menor que ele dá um número positivo. Portanto, esse meu (1 menos t)
é um número positivo e número positivo em módulo
não vai fazer diferença nenhuma. Posso escrever aqui como (1 menos t)
sem problema algum. Multiplicado por... Agora, olhe só:
z₂ menos z₁ em módulo é igual
a z₁ menos z₂. Afinal, são dois números complexos que estão apontando para lugares diferentes. Porém a magnitude, o tamanho,
o módulo deles é igual. Então, sem problema algum
eu posso escrever esse carinha aqui como sendo
z₂ menos z₁ também. Por que
estou fazendo isso? porque, olhe só: assim posso
colocar em evidência meu z₂ menos z₁. Feito isso, colocando
em evidência como eu disse, aqui teremos que "t" somado com (1 menos t) vai ser multiplicado por
z₂ menos z₁, não é verdade? Esse "t" cancela com menos "t", então ficou
1 vez essa diferença. Poxa, então somar esse com esse
dá z₂ menos z₁? Vamos dar uma olhadinha aqui. Portanto, só podemos concluir
que se essa soma é z₁ menos z₂, que é a mesma coisa
que z₂ menos 1, ela está correta. Nos próximos vídeos, vamos verificar
se as outras afirmações também estão corretas. OK, pessoal.
Até a próxima!