Desafios com números complexos (1 de 3)

RKA4JL – Olá, pessoal! Prontos para mais um exercício? Sejam z₁ e z₂ dois números complexos distintos. Seja "z" igual a (1 menos t) multiplicado por (z₁ mais t vezes z₂). Essa relação é importante, onde "t" é um número real tal que ele está entre zero e 1. Arg(w), ou seja, essa funçãozinha denota o principal argumento de um número complexo não-nulo "w" e ele me mostra quatro afirmações para eu tentar verificar se são verdadeiras ou falsas. Só para deixar mais claro o que é essa funçãozinha aqui, temos aqui nosso diagrama de Argand-Gauss onde aqui é a parte imaginária, aqui é a parte real e aqui nosso número "z" qualquer. Esse "Arg" vai ser o argumento do meu x, ou seja, o ângulo entre a parte real positiva e o meu vetor que representa "z". Este φ, este ângulo φ é o argumento, então sempre que ele colocar "Arg" de um número, igual aqui, ele está pedindo o argumento desse número, o ângulo entre a parte positiva do eixo real e o vetor que representa "z". Vamos então, pessoal, ver quais dessas afirmações são verdadeiras, começando pela afirmação (A). Será que essa expressão a é verdadeira? Para isso, é melhor que a gente a desenvolva e veja se a parte esquerda é igual à parte da direita. Vou pegar primeiro esse pedacinho aqui. Portanto o que seria módulo de | z menos z₁ |? O meu "z" é esse negócio aqui que ele colocou no nosso enunciado. Portanto, vai ficar módulo de "z"... "z" é isso, então vou distribuir esse carinha aqui. Então vai ficar z₁ menos z₁t somado com tz₂. E agora eu vou subtrair z₁, então menos z₁. Tudo aqui dentro desse módulo. Poxa, z₁ aqui menos z₁ aqui, a gente pode cancelar esses caras. Olhe só: agora eu posso colocar esse "t" em evidência, então vai ficar módulo de "t" que multiplica z₂ menos z₁ OK, pessoal? Portanto, módulo de | z menos z₁ | é a mesma coisa que módulo de "t" que multiplica z₂ menos z₁. Vamos agora calcular esse carinha aqui. Módulo de | z menos z₂ |. Aqui vai ser o módulo de z menos... (vamos trocar a cor aqui) z₂. Abrindo o módulo. Como a gente viu, "z" é esse negócio aqui, então vamos escrever 1 menos tz₁ somado com tz₂ e disso eu subtrai z₂, não é? Antes de continuar, deixe-me apagar esse negócio aqui que está me atrapalhando. Pessoal, perceba que tenho z₂ nesse termo e nesse termo, então posso colocá-lo em evidência também. Para começar, eu tenho aqui, abrindo o módulo, o nosso (1 menos t) que multiplica z₁ e agora, colocamos z₂ em evidência e vamos ter "t" menos 1 que multiplica z₂, não é verdade? Agora que eu vi quanto vale esse e quanto vale esse, eu vou somá-los. Eu tenho aqui o módulo de "t" que multiplica z₂ menos z₁ e ele está somado com esse rapazinho aqui. Vou tentar escrever aqui embaixo esse mesmo número, simplificando ainda mais o nosso valor. Para isso, olhe só: esse cara aqui, (1 menos t) que multiplica z₁, ficaria muito conveniente para a gente se aqui também fosse (1 menos t), não é verdade? A gente poderia fazer um fator comum. Porém, está "t" menos 1. Mas não tem problema. Se ao invés de "mais" eu colocar aqui "menos", eu posso escrever como (1 menos t), afinal, se eu distribuir esse "menos", volta a ficar -1 e aqui volta a ficar mais "t". Então não vai ter diferença nenhuma. Isso aqui, então, está multiplicado por z₂. E fechamos o módulo. Olhe que maravilha. Agora, basta eu colocar em evidência esse (1 menos t). Colocando aqui embaixo em evidência, então fica módulo de (1 menos t) que multiplica z₁ menos z₂. Fechando aqui. E só para ficar bonitinho, vou pegar esse cara e colocar aqui embaixo. Continuando, e para isso vou ganhar um pouquinho mais de espaço aqui. Lembrando algumas propriedades de módulo: quando eu tenho um produto, eu posso separar os módulos. Esse aqui eu posso escrever como módulo de "t" vezes módulo de z₂ menos z₁ mais... Aqui também: nesse produto eu posso separar os módulos, lembrando que isso só vale no produto, pois na soma a gente não separa. Então isso fica como módulo de (1 menos t) multiplicado por módulo de z₁ menos z₂. Mas olha só, pessoal: esse "t" é um escalar. Um escalar, inclusive, que está entre zero e um. Então é, com certeza, um número positivo. Então posso escrever esse "t" aqui sem problema algum, certo? Isso estará multiplicando z₂ menos z₁. E eu posso concluir que (1 menos t) também é um número positivo, não é? Por quê? Porque "t" é um número maior que zero, só que menor que 1. Então, 1 menos um número positivo menor que ele dá um número positivo. Portanto, esse meu (1 menos t) é um número positivo e número positivo em módulo não vai fazer diferença nenhuma. Posso escrever aqui como (1 menos t) sem problema algum. Multiplicado por... Agora, olhe só: z₂ menos z₁ em módulo é igual a z₁ menos z₂. Afinal, são dois números complexos que estão apontando para lugares diferentes. Porém a magnitude, o tamanho, o módulo deles é igual. Então, sem problema algum eu posso escrever esse carinha aqui como sendo z₂ menos z₁ também. Por que estou fazendo isso? porque, olhe só: assim posso colocar em evidência meu z₂ menos z₁. Feito isso, colocando em evidência como eu disse, aqui teremos que "t" somado com (1 menos t) vai ser multiplicado por z₂ menos z₁, não é verdade? Esse "t" cancela com menos "t", então ficou 1 vez essa diferença. Poxa, então somar esse com esse dá z₂ menos z₁? Vamos dar uma olhadinha aqui. Portanto, só podemos concluir que se essa soma é z₁ menos z₂, que é a mesma coisa que z₂ menos 1, ela está correta. Nos próximos vídeos, vamos verificar se as outras afirmações também estão corretas. OK, pessoal. Até a próxima!