Distância e ponto médio de números complexos.

RKA4JL – Olá, pessoal! Prontos para mais um vídeo? Olha só, temos aqui dois números complexos: o número complexo "z", que é 2 mais 3𝓲, e o número complexo "w", que é igual a -5 menos 𝓲. E o que eu vou fazer neste vídeo é colocar esses números no plano complexo e tentar descobrir qual é a distância entre eles nesse plano. E depois, vamos ver se existe ou qual é o número que está exatamente na metade desta distância. Um outro meio de interpretar isso é: qual será o ponto médio desses dois números complexos? Então, uma sugestão para você: pause o vídeo um pouquinho e tente resolver esse problema antes de ver como que eu vou fazer, antes de ver minha solução. Como eu disse que farei tudo isso no plano complexo, vamos começar desenhando-o, então. Primeiro, o eixo dos imaginários e agora aqui, perpendicularmente, o eixo dos reais, eixo da parte real. Vamos graduar nosso eixo. Para caber esse cara aqui no eixo real, vamos lá, um, dois, três, quatro, cinco para a direita e um, dois, três, quatro, cinco para a esquerda. Aqui na parte imaginária, vamos colocar mais um, dois, três, quatro, está bom e um, dois, três, quatro aqui para baixo também. Vamos representar esses números no plano complexo. Temos aqui o "z", que é 2 mais 3 vezes 𝓲. Então, na parte real temos 2, e na parte imaginária, como é 3 vezes 𝓲, eu subo três aqui na parte imaginária. O número "z" fica, então, mais ou menos aqui. Aqui é o meu número "z". E para colocar o "w", que é -5 menos 𝓲, eu vou cinco para a esquerda no eixo dos reais, um, dois, três, quatro, cinco, então aqui é -5. E como é -1𝓲, então -1𝓲 aqui. Portanto, aqui está o nosso ponto "w". A primeira coisa que eu propus para vocês foi que a gente descobrisse a distância entre esses dois pontos. E para descobrir essa distância temos que, basicamente, medir o tamanho desse segmento aqui. Então vamos medir o tamanho do segmento, que é, basicamente, usar o teorema de Pitágoras. Você pode falar que a gente pode usar aquela fórmula que a gente vê em geometria analítica de distância entre dois pontos, mas aquela fórmula é nada mais, nada menos, que o teorema de Pitágoras aplicado, quer ver? Vamos pensar um pouquinho sobre o assunto. A primeira coisa que vou analisar aqui é quanto foi percorrido no eixo real. Do "w" até "z" a gente vem daqui do -5 até 2. A gente percorre essa distância aqui do "w" até "z". E essa distância é de sete unidades, não é verdade? Daqui até aqui foram cinco unidades e para chegar até aqui, mais duas. Então, sete unidades, certo? Esse segmento roxinho aqui tem sete unidades. Podemos pensar também da seguinte maneira: 2 menos -5 é igual a 7, não é verdade? Então esse tamanho aqui é 7. E quanto será a distância percorrida aqui no eixo imaginário? Eu vou do -1 até 3. Então aqui é uma unidade e com mais três, quatro no eixo imaginário. Esse tamanho vai ser o quanto eu percorro e tem quatro unidades. Pensando daquela mesma forma, eu posso fazer 3 menos -1 é igual a 4. Olha só, pessoal: temos aqui nosso triângulo retângulo. E como é um triângulo retângulo, basta eu usar o teorema de Pitágoras. Como eu quero descobrir esse comprimento, eu quero descobrir a hipotenusa. Chamemos de "x". Por Pitágoras, então, x² é igual a 7² somado com 4², não é verdade? Ou podemos dizer que a minha hipotenusa, o meu x é igual à raiz quadrada do quê? Desse 7², que é 49, somado com 4², que é igual a 16. Então nossa distância, nosso x vai ser √65. Encontramos! A distância entre "w" e "z" é igual √65. Vamos ver se dá para a gente fatorar para simplificar essa raiz. 65, se eu fatorar, é 13 vezes 5, então não me ajuda muito. Vamos deixar dessa maneira. Nosso x é igual √65, que é o número um pouquinho maior que 8. Agora, vamos para próxima pergunta: qual será o número complexo que está na metade desta distância, que está exatamente na metade da distância entre "w" e "z"? Ou seja, qual é o ponto médio de "w" e "z"? Para achar esse cara, que vou chamar de ponto médio, não é tão difícil. É só pegar a metade do caminho aqui no eixo real e a metade do caminho aqui no eixo imaginário. Vamos chamar esse ponto de "M". A parte real do nosso M vai ser a média dessas partes reais. E o que é fazer a média? É somar e dividir por 2. Então isso aqui vai dar 2 somado com -5 e isso eu divido por 2 mais... a média na parte imaginária, que vai ser igual a 3 somado com -1 e isso eu vou dividir por 2. Claro que a parte imaginária é multiplicada por 𝓲. Resolvendo aqui as continhas, 2 somado com -5 dá -3, dividido por 2 é -3/2. 3 somado com -1 é 2, então isso aqui vai ficar 2 dividido por 2, que é 1. Portanto, mais 1 vez 𝓲, ou seja, mais 𝓲. -3/2 mais 𝓲 é o nosso ponto médio. E se a gente o colocar aqui no nosso plano complexo, você verá que faz muito sentido, quer ver? -3/2 é mais ou menos aqui, e 1 na parte imaginária é aqui. Quando eu junto essas coordenadas, dá esse pontinho. É claro que meu desenho não é tão perfeito assim, mas dá para perceber que esse ponto M é justamente o ponto médio de "w" e "z". OK, pessoal. Até o próximo vídeo!