Divisão de números complexos: forma polar e exponencial

RKA4JL – Olá, pessoal! Prontos para mais um vídeo? Temos aqui uma divisão de dois números complexos, ambos na sua forma trigonométrica ou também conhecida como forma polar. Essa continha está mais parecendo um bicho de sete cabeças, mas vocês vão ver que não é tão complicado assim usando algumas técnicas. Em azul, a gente tem este número complexo plotado aqui no nosso plano complexo. A gente vê que a forma trigonométrica dá o argumento e a magnitude, o módulo do nosso número. Aqui a gente tem um argumento, que é essa abertura. Então isso aqui seria 7π sobre 6 e o módulo, a magnitude, seria sete unidades. Sete unidades é sua distância do (0,0). Vamos ver: um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete unidades. A distância do meu ponto ao (0,0), à origem dos espaços. E logo aqui embaixo a gente tem esse número complexo em verde, que tem como argumento 7π sobre 4 e sua magnitude, o seu módulo, se a gente for pensar direitinho, isto aqui está sendo multiplicado por 1. Então é módulo, magnitude 1. Vamos ver aqui: o argumento, o ângulo vai ser esse, que vai ser o equivalente a 7π sobre 4 e temos módulo 1, a distância de uma unidade do (0,0). Feitos os esclarecimentos, eu faço um desafio: tente você pausar o vídeo e fazer a divisão entre esses dois números e logo em seguida plotar o resultado aqui no nosso plano complexo. Dá mesmo para perceber que se a gente for tentar dividir essas coisinhas aqui vai ser uma expressão meio cabeludinha, não é verdade? Portanto, que tal se a gente tentasse escrever de um modo que vai facilitar as coisas para mim? É aí que aquela forma de Euler entra, a forma trigonométrica do número complexo. Todo esse meu monstrinho aqui pode ser escrito da seguinte forma. De acordo com a fórmula de Euler, isso é "e" elevado ao argumento, então elevado a (7π sobre 6), multiplicado por 𝓲. Então todo esse número, todo esse meu monstrinho pode ser escrito com uma roupinha mais agradável usando a forma trigonométrica. Fica 7 vezes "e" elevado a (7π sobre 6) 𝓲 dividido por... Da mesma forma, a gente pode escrever esse número de baixo. Vai ser 1 vez (não precisava nem ter colocado 1, na verdade), "e" elevado ao argumento, que é (7π sobre 4), multiplicado por 𝓲. E agora está escrito dessa maneira é só usar a propriedade de divisão de potências. Olhe só: 7 dividido por 1 vai ser 7 mesmo. Multiplicado por... Agora vamos dividir potências de mesma base. Então basta colocar aqui a base e subtrair esses expoentes, não é verdade? Portanto, "e" elevado a ((7π sobre 6) vezes 𝓲, menos (7π sobre 4) vezes 𝓲). Agora fazer essa continha aqui virou uma brincadeira de subtrair frações. Então vamos fazer essa subtração. Lembrando que para subtrair uma fração da outra elas precisam estar com o mesmo denominador, não é? E qual o denominador comum que a gente pode colocar? Um cara que está na tabuada do 6 e do 4 ao mesmo tempo é o12. Então vamos deixar os dois números com denominador 12. Multiplicando em cima e embaixo por 2, para aparecer o denominador 12, eu vou ter (14π sobre 12)𝓲, menos... Agora para aparecer 12 aqui, vou multiplicar por 3 em cima e embaixo. Então vai ser (21π sobre 12)𝓲, e o resultado dessa minha subtração vai ficar -7π 𝓲 sobre 12, ou seja, depois que eu coloquei na forma exponencial, o resultado dessa continha ficou 7 multiplicado por "e" elevado a (-7π 𝓲 sobre 12). Terminada a continha, nosso desafio agora é representá-lo aqui no nosso plano complexo. Vamos tentar entender o que a gente tem aqui, lembrando que 180 graus, meia-volta, é π radianos. Nossa meia-volta está dividida em quantos espaços? Temos: uma, duas, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove dez, onze, doze divisões. Se meia-volta é π e eu dividi em 12, cada pedacinho desse é π sobre 12, cada arco desse é π sobre 12. Deixe-me dar uma apagadinha aqui. Muito bem. Se cada pedacinho é π sobre 12, eu vou ter que andar 7π sobre 12, só que na direção negativa. A direção positiva é andar no sentido anti-horário. A direção negativa é andar sentido horário. Então tenho que ir 7π sobre 12 no sentido horário, no sentido negativo. Vamos lá, então. Uma, duas, três, quatro, cinco, seis, 7π sobre 12 negativo é aqui. Opa, já usamos a informação do argumento. Basta agora a gente representar a informação do módulo. São sete unidades o módulo, portanto é uma distância de sete unidades aqui da origem dos espaços. Então vamos uma, duas, três, quatro, cinco, seis, sete unidades. Então aqui é onde eu consigo representar o resultado da minha divisão. Olha só que legal: a gente tem que esse número dividido por esse número é esse número complexo aqui. É claro que se a gente quiser representar este carinha na sua forma trigonométrica, na sua forma polar, a gente também pode. Quer ver? Isso vai ser 7 multiplicado por cosseno de (-7π sobre 12) somado a 𝓲 vezes seno de (-7π sobre 12). Você pode me perguntar: qual seria o valor desse ângulo se tivesse no sentido positivo, no sentido horário? Olhe, do jeito que aqui está basta a gente contar também. A gente sabe que até à meia-volta são 12, então 13, 14, 15, 16, seria 17π sobre 12. Então eu poderia ter escrito no lugar de -7π sobre 12 o número 17π sobre 12, que estaria representando o mesmo número complexo. Não é interessante pessoal? Com essa, eu termino nosso vídeo. Espero que você tenha gostado e até o próximo vídeo!