Introdução aos números complexos

RKA4JL - Olá pessoal! Prontos para mais um vídeo? Durante toda sua vida escolar, os caminhos que você trilhava quando você passava pela matemática sempre eram repletos... você sempre se deparava com números reais. Vou escrever aqui "números reais". Alguns exemplos de números reais são zero, 1, π , também é número real, ou então a dízima periódica, 0,33333, o número e, √2, e muitos outros. Eu poderia passar toda minha vida falando os números reais. E esses números aqui são números com os quaisvocê já está familiarizado, você já viu várias vezes, não lhe causa nenhuma estranheza. Mas se a gente apresentasse algo novo? E se a gente falasse de um número que se eu elevar ao quadrado vai ter como resultado -1? Pois olhe só: um número que elevado ao quadrado vai ser igual a -1. Vamos chamar esse número de "𝓲". Com isso, a gente cria uma nova classe de números que vão ser múltiplos desse número 𝓲 e que a gente vai chamar de unidade imaginária. Vamos escrever aqui. Vão ser os imaginários. Nesse novo conjunto, nesse novo grupo, vamos ter números como 𝓲 , -𝓲 , quem sabe π vezes 𝓲 , ou então, e vezes 𝓲 ou -3 multiplicado por 𝓲 . Com isso, pode surgir a seguinte questão: “E se eu combinasse esses números reais com esses números imaginários?" Se eu combinasse somando ou pegando a diferença de números reais com números imaginários, o que será que a gente teria? Vamos tentar ver um exemplo. Vamos chamar de "z". "z" é, geralmente, o nome que a gente vai dar para variáveis quando a gente está trabalhando com essa mistura de reais e imaginários. Esse meu número "z" vai ser o número real 5 somado com o número imaginário 3𝓲, ou podemos chamá-lo de 3 vezes 𝓲. E agora você vai ficar tentado a somar esse 5 com esse 3, mas você não pode porque eles são tipos diferentes de números. Então você agrupar, somar esses dois números não vai fazer sentido algum. O máximo de simplificação que a gente consegue já está aqui: 5 mais 3 vezes 𝓲 . Só para deixar mais claro para você: temos essa aqui, que é uma parte real, e aqui, uma parte imaginária. A gente chama essa combinação de número real e imaginário de número complexo. Então número complexo é composto de uma parte real e uma parte imaginária. É bem possível que, às vezes, você veja uma anotação como essa, que diz o seguinte: “Qual é a parte real do meu número complexo 'z'”? A parte real do meu número complexo "z" é isso aqui, é 5. Então 5 é a parte real do "z". Da mesma forma, tem uma outra função, uma outra representação aqui que pergunta: “Qual é a parte imaginária do número complexo 'z'”? Basicamente, o que essa função pergunta a você é: 𝓲 , a parte imaginária, está sendo multiplicada por qual número? Pelo 3, no nosso caso. E a gente pode visualizar essa situação, visualizar graficamente. E para fazer essa representação, vou fazer aqui um plano cartesiano de duas dimensões, bem parecido com aquele que a gente está acostumado, aquele que a gente coloca números reais tanto no eixo x como no eixo y. Só que aqui vai acontecer algo ligeiramente diferente. Aqui no eixo vertical, eu vou colocar a parte imaginária do meu número complexo. E aqui no eixo horizontal, vou colocar a parte real do meu número complexo. Então, por exemplo, vamos representar o nosso número "z", aqui. "z" tem a parte real, que é 5. Então aqui, no eixo dos reais, eu vou pôr um, dois, três, quatro, cinco. Parte real do meu número complexo. E a parte imaginária é 3. Então eu vou três aqui para cima, um, dois, três. Portanto o meu número "z" vai estar representado por esse pontinho aqui no plano complexo. E eu posso lhe dar mais alguns exemplos de números complexos representados aqui. Por exemplo, que tal o número "a"? Meu número "a" vou chamar de -2 mais 𝓲 . Então, -2 mais 𝓲 . A parte real é -2, então vem dois para a esquerda, aqui no meu eixo dos reais, e aqui é como se fosse 1 vez apenas o 𝓲 . -2 mais 𝓲 vai estar dois para a esquerda, um para cima. Então será esse pontinho aqui. O meu pontinho representa "a", igual esse aqui representa "z". Então, só para reforçar, esse aqui é o chamado plano complexo. Um último exemplo para finalizar. Vamos tentar um número "b" que vai ser 4 menos 3𝓲 . Então a parte real é 4, que já está aqui, e a parte imaginária é -3. Então são três para baixo, um, dois, menos três aqui. 4 menos 3𝓲 vai ser representado por este pontinho aqui, o meu ponto "b". OK pessoal? Espero que vocês tenham gostado. Tchau, e até a próxima!