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Conteúdo principal
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Demonstração da fórmula de focos de hipérbole

Transcrição de vídeo

no último vídeo disse que se tivesse uma hipérbole com a equação x ao quadrado sobre ao quadrado - y ao quadrado sobre bell quadrado é igual a 1 a distância focal pressa e perde ele seria igual a raiz quadrada da soma desses dois números a raiz quadrada de ao quadrado mais bem enquadrado nesse vídeo eu quero demonstrar pra vocês e só pra saberem essa equação é uma hipérbole específica que se abre para a esquerda e para a direita porque esses são os pontos das assim todas esses seriam os eixos porque o termo x é positivo se o termo y fosse positivo e o termo x tivesse um sinal negativo então a hipérbole se abriria pra cima e pra baixo assim ea prova que estou mostrando nesse vídeo apenas um monte de álgebra que é idêntica ao caso do y e vocês apenas trocariam os x e um y mas queria apenas ter certeza de que entenderam que estou fazendo um caso específico de um império lhe que se abre para a esquerda ea direita poderia chamar de uma hipérbole horizontal e vertical mas queria deixar claro que ela é um outro tipo de pedra enfim vamos desenhar uma representação gráfica para assegurar que entendemos o que vamos entender novamente ao entender melhor o que são os pontos focais além de saber onde eles estão na hipérbole esses são os meus eixos assim todas dessa hipérbole são as linhas y é igual a mais ou menos de sobre a ops não estava usando uma ferramenta de linhas esta é a primeira a cinta e esta é a segunda portanto a hipérbole terá esse formato ela vai interceptar no ponto a vírgula zero logo ali esse será o ponto a vírgula zero ea interceptação será em - a vírgula zero a gente viu no último vídeo ela se parece com isso aqui depois os pontos focais estarão localizados em algum lugar aqui e aqui e o comprimento focal que é este ao quadrado mas b ao quadrado a raiz quadrada de a ao quadrado mais b ao quadrado essa distância a distância do comprimento focal esse será o ponto f0 e esse o ponto - é fizeram aprendemos no último vídeo que uma das definições de uma hipérbole é um lugar geométrico de todos os pontos o conjunto de todos os pontos onde serão medir a diferença das distâncias aos dois focos essa diferença será um número constante então se é o ponto x vírgula y e poderia ser qualquer ponto que satisfaça essa equação é qualquer ponto na hipérbole a gente sabe ou nos disseram que se medisse essa distância chamada de de 11 e subtrair se da distância do outro foco chamado d 2 este número seria uma constante independente de onde estiver na hipérbole na verdade o lugar geométrico de todos os pontos é a hipérbole que é todos os pontos que satisfazem esta condição a gente aprendeu no último vídeo quando medimos a diferença da distância que pegamos esse ponto de sermos tá quanto essa distância - essa distância vimos que ela é 2 a 1 então de um menos de 2 em igual a estou saindo da tela de um menos de dois é igual a 2 a 1 vamos então usar esse fato que de um menos de dois é igual a 2a para tentar provar isso então a primeira coisa a fazer é descobrir de 1 e 2 usando a fórmula de distância o que é de um de um é a distância entre este ponto e este ponto - f0 assim o que fazemos é apenas usar a fórmula de distância que na verdade apenas um teorema de pitágoras e é a diferença do xis ea distância x ele é x - f ao quadrado mais as distâncias de yy menos 10 ao quadrado é apenas y quadrado vamos tirar a raiz quadrada disso é de um novo aqui de um agente quer subtrair isso de 2 diferença entre as distâncias e nesse caso de um é definitivamente maior que 2 ou dá para calcular os valores absolutos se não quiser sem se preocupar com isso aqui então obtemos a raiz quadrada de x - efe x - f ao quadrado mas y ao quadrado isso é igual à que a gente diz que é igual a 2 a igual a essa distância aqui é igual a 2 a 1 vamos ver agora se conseguirmos simplificar tudo bom uma coisa interessante simplesmente é passar isso para o outro lado da equação isso pode ficar bem complicado então espero realmente não fazer nenhum erro bobo aqui vou escrever pequeno pra economizar espaço isso se torna x mas efe ao quadrado certo - com menos dá mais e mais y ao quadrado é igual a dois a mais a raiz quadrada de x - f ao quadrado mais y ao quadrado agora vamos nos livrar desses radicais e levar os dois lados dessa equação ao quadrado se levar o lado esquerdo ao quadrado ele se torna x mais f ao quadrado mas y ao quadrado depois para elevar ao quadrado a gente tem que levar o primeiro termo ao quadrado que é 4 vezes ao quadrado a seguir multiplicamos a os dois termos e multiplicamos por dois correto estamos simplesmente pegando tudo levando quadrado então apenas uma revisão de álgebra binomial é igual a mais 2 a vezes isto vezes 2 é 4 a vezes a raiz quadrada de x - f ao quadrado mais y ao quadrado e não vamos nos esquecer dessa potência a seguir e levamos esse termo quadrado que apenas a multiplicação de um binômio então isso é igual a agente se livra do sinal de radical e continua com esta cor é igual à x - f ao quadrado mais y ao quadrado parece que já podemos fazer algum cancelamento têm y ao quadrado nos dois lados dessa equação vamos cancelá-lo subtraímos y ao quadrado dos dois lados e vamos multiplicar esse termo então aqui é x ao quadrado mais 2 x efe mas é fiel quadrado e isso é igual a 4 ao quadrado mais quatro a vezes a raiz quadrada de x - f ao quadrado mas y ao quadrado vamos multiplicar mas x ao quadrado - 2 x ef mais f ao quadrado vamos ver agora o que podemos cancelar tem x ao quadrado nos dois lados e subtraímos fiz ao quadrado dos dois lados da equação tem um f ao quadrado nos dois lados vamos cancelados então e vamos ver o que pode fazer para simplificar tenham menos dois xf e 12 x ef vamos somar 2 x ef aos dois lados ou passar esse tempo pra cá se somar do xf os dois lados da equação se somar 2 x resta aos dois lados da equação o que obteremos obteremos 4 x ef lembre se de que apenas passei esse termo para o lado esquerdo que é igual a 4 ao quadrado mais quatro a vezes a raiz quadrada de x - f ao quadrado mais y ao quadrado é fácil se perder em álgebra lembre se que tudo que estamos fazendo é apenas para lembrar que o objetivo desse exercício é simplificar a diferença das distâncias entre esses dois pontos e depois ver como ela se relaciona com a equação da própria hipérbole usar as e os bebês vamos pegar esse 4 a 1 e passar pra esse lado então temos 4 x efe - quatro ao quadrado é igual a 4 a vezes a raiz quadrada de vamos apenas x que provavelmente não sei fazer isso no final x ao quadrado - 2 x ef mais f ao quadrado mais y ao quadrado que apenas isso multiplicado esse é o y ao quadrado aqui poderemos dividir os dois lados disso por quatro tudo que estou tentando fazer é simplificar ao máximo possível para que isso se torne xf - ao quadrado é igual a a vezes a raiz quadrada de toda essa coisa x ao quadrado - 2 x ef mas efe ao quadrado mais y ao quadrado agora podemos levar os dois lados dessa equação aqui e se levar os dois lados ao quadrado esse lado fica x ao quadrado efe ao quadrado - 2a ao quadrado xf mas a elevada à quarta potência isso é esse lado elevada ao quadrado que é igual a se elevar no lado direito ao quadrado ao quadrado vezes o quadrado de uma raiz quadrada é simplesmente essa expressão x ao quadrado - 2 x ef mais f ao quadrado mais y ao quadrado esse é um problema bem complicada vamos ver o que dá para fazer agora vamos dividir os dois lados da equação por ao quadrado e aí teremos x ao quadrado realmente estou tentando simplificar o máximo possível sobre ao quadrado - usar o quadrado se cancelam -2 xf mas a elevada a quarta / ao quadrado é apenas ao quadrado então ao quadrado é igual à x ao quadrado - 2 x ef mais f ao quadrado mais y ao quadrado até aqui tudo bem algo que pode ser cancelado a 1 - 2 x ef nos dois lados da equação então vamos cancelar los e simplifica a nossa situação um pouquinho o que podemos fazer é subtrair esse xis ao quadrado disto e aí teremos x ao quadrado efe ao quadrado sobre ao quadrado - x ao quadrado vamos também passar esse y para esse outro lado da equação então - y ao quadrado e foi tudo que eu fiz só passei pra esse lado agora vamos passar e eu tô pulando muitas etapas mas não quero que demore muito vamos pegar esse a e colocar nesse lado da equação pegamos o x1 y e subtraímos dos dois lados da equação eles terminaram no lado esquerdo depois de subtrair ao quadrado dos dois lados esse é um problema cansativo obtemos efe ao quadrado - ao quadrado acho que estamos quase lá isso pode ser simplificado para vamos ver se podemos faturar o x ao quadrado que se torna efe ao quadrado sobre ao quadrado menos 11 vezes x ao quadrado eu vou só faturado x ao quadrado e - y ao quadrado é igual à efe ao quadrado o comprimento focal ao quadrado - ao quadrado e vejamos que vamos dividir os dois lados da equação por essa expressão e aí teremos isso já deve parecer familiar né e teremos efe ao quadrado sobre ao quadrado - um vezes x ao quadrado / efe ao quadrado - ao quadrado - y ao quadrado sobre hfa quadrado - ao quadrado é igual a 1 e divide os dois lados por isso obtém um nesse lado direito vamos ver se eu consigo simplificar seu multiplicar o número de dor e o denominador puro ao quadrado desde que multiplique numerador e um denominador pelo mesmo número estou simplesmente multiplicando meu por um então não estou mudando nada fazendo isso o numerador ficar efe se multiplicar ele se torna efe ao quadrado - ao quadrado estou só x ao quadrado e o denominador fica ao quadrado vezes é o quadrado - ao quadrado tudo vezes x ao quadrado - y quadrado sobre f ao quadrado - ao quadrado é igual a um que se cancela com isto e obtemos algo que está começando a se parecer com a equação de uma hipérbole energia está voltando parece que consegui ver luz no fim do túnel temos agora x ao quadrado sobre ao quadrado - y ao quadrado sobre é o quadrado - ao quadrado é igual 1 agora se parece bastante com a nossa equação original da hipérbole que era x ao quadrado sobre ao quadrado - y ao quadrado sobre bell quadrado igual a 1 na verdade esta é a equação da hipérbole mas em vez de escrever bem ao quadrado como escrevemos perguntamos basicamente qual é o lugar geométrico de todos os pontos onde a diferença das distâncias para esses dois focos é igual a 2 a 1 a gente só pratica um pouco de álgebra esse problema foi bem cansativo eu estou impressionado por terem aguentado até aqui no final tivemos essa equação que deve ser a equação da hipérbole e ela é a equação da hipérbole ela é esta equação portanto é o mesmo que isso é o quadrado - ao quadrado ou à distância focal ao quadrado - ao quadrado é igual a b ao quadrado se somará ao quadrado aos dois lados obtemos efe ao quadrado é igual a ab ao quadrado mas ao quadrado ou ao quadrado mas bell quadrado que nos diz que o comprimento focal é igual a raiz quadrada disso de ao quadrado mais bem ao quadrado isso foi o que estávamos tentando descobrir no início portanto espero que estejam convencidos de que o comprimento focal de uma hipérbole é a soma desses dois denominadores isso também é verdadeiro se ela for uma hipérbole voltada pra cima ou vertical e se estiver lidando com uma elipse ela é a diferença entre esses dois a raiz quadrada da diferença entre esses dois números enfim vou parar por aqui esse problema foi demais preciso de um copo d'água