If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Demonstração da fórmula de focos de hipérbole

Neste vídeo, provamos por que, para a equação geral da hipérbole x^2/a^2-y^2/b^2=1, o comprimento focal f forma a equação f^2=a^2+b^2 com os parâmetros a e b. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA13E No último vídeo, eu disse que se tivesse uma hipérbole com a equação "x² sobre a² - y² sobre b² = 1", a distância focal para esta hipérbole seria igual à raiz quadrada da soma desses dois números. A "√a² + b²". Nesse vídeo, eu quero demonstrar para vocês. E só para saberem, essa equação é uma hipérbole específica que se abre para a esquerda e para a direita, porque esses são os pontos das assíntotas. Esses seriam os eixos porque o termo "x" é positivo. Se o termo "y" fosse positivo, e o termo "x" tivesse um sinal negativo, então, a hipérbole se abriria para cima e para baixo assim. E a prova que estou mostrando nesse vídeo é apenas um monte de álgebra, que é idêntica ao caso do "y", e vocês apenas trocariam os "x" e os "y", mas queria apenas ter certeza de que entenderam que estou fazendo um caso específico de uma hipérbole que se abre para a esquerda e a direita. Poderia chamar de uma hipérbole horizontal em vez de vertical, mas queria deixar claro que ela é um outro tipo de hipérbole, enfim. Vamos desenhar uma representação gráfica para assegurar que entendemos, ou o que vamos entender novamente, ou entender melhor o que são os pontos focais, além de saber onde eles estão na hipérbole. Esses são os meus eixos, as assíntotas dessa hipérbole são as linhas "y = ± b sobre a". Ops, não estava usando uma ferramenta de linhas. Esta é a primeira assíntota, e esta é a segunda. Portanto, a hipérbole terá esse formato. Ela vai interceptar no ponto (a, 0) logo ali. Esse será o ponto (a, 0), e a interceptação será em (-a, 0), a gente viu no último vídeo. Ela se parece com isso aqui. Depois, os pontos focais estarão localizados em algum lugar aqui e aqui, e o comprimento focal, que é este "a² + b²", " √ a² + b²" é essa distância, que é a distância do comprimento focal. Esse será o ponto (f, 0), e esse o ponto (-f, 0). Aprendemos no último vídeo que uma das definições de uma hipérbole é "o lugar geométrico de todos os pontos ou o conjunto de todos os pontos, onde se eu medir a diferença das distâncias aos dois focos, essa diferença será um número constante". Então, se é o ponto (x, y), e poderia ser qualquer ponto que satisfaça esta equação, é qualquer ponto na hipérbole, e a gente sabe ou nos disseram que, se medisse essa distância chamada de d1 e subtraísse da distância do outro foco chamado de d2, este número seria uma constante independente de onde estiver na hipérbole. Na verdade, o lugar geométrico de todos os pontos é a hipérbole, que é todos os pontos que satisfazem esta condição. A gente aprendeu no último vídeo, quando medimos a diferença da distância que pegamos esse ponto, e dissemos: quanto é essa distância menos essa distância? Vimos que ela é "2a". Então "d1 - d2" é igual a. Estou saindo da tela. "d1 - d2 = 2a". Vamos, então, usar esse fato que "d1 - d2 = 2a" para tentar provar isso. Então, a primeira coisa a fazer é descobrir d1 e d2 usando a fórmula de distância. O que é d1? d1 é a distância entre este ponto e este ponto, (-f, 0). Assim, o que fazemos é apenas usar a fórmula de distância que, na verdade, é apenas um Teorema de Pitágoras. E é a diferença do "x" e a distância "x". Ele é "(x - f)²" mais as distâncias de y, "y - 0²" é apenas y². Vamos tirar a raiz quadrada disso. É d1 logo aqui. A gente quer subtrair isso de d2. A diferença entre as distâncias, e, nesse caso, d1 é definitivamente maior que d2, ou dá para calcular os valores absolutos, se não quisessem se preocupar com isso. Aqui, então, obtemos "√ (x - f)² + y²", e isso é igual a quê? A gente diz que é igual a "2a". Igual a essa distância aqui, é igual a "2a". Vamos ver agora se conseguimos simplificar tudo. Bom, uma coisa interessante simplesmente é passar isso para o outro lado da equação. Isso pode ficar bem complicado, então espero realmente não fazer nenhum erro bobo aqui. Vou escrever pequeno para economizar espaço. Isso se torna "(x + f)²", certo? menos com menos dá mais, e "+y² = 2a + √(x - f)² + y²". Agora vamos nos livrar desses radicais e elevar os dois lados dessa equação ao quadrado. Se elevar o lado esquerdo ao quadrado, ele se torna "(x + f)² + y²". Depois para elevar ao quadrado, a gente tem que elevar o primeiro termo ao quadrado, que é "4 × a²". A seguir, multiplicamos os dois termos e multiplicamos por 2, correto? Estamos simplesmente pegando tudo e elevando ao quadrado, então é apenas uma revisão de álgebra binomial. É igual a "+ 2a" vezes isto, vezes 2 é "4a × √(x - f)² + y²", e não vamos nos esquecer dessa potência. A seguir, elevamos esse termo ao quadrado, que é apenas a multiplicação de um binômio. Então isso é igual a ... A gente se livra do sinal de radical e continua com esta cor. É igual a "(x - f)² + y²". Parece que já podemos fazer algum cancelamento. Tem "y²" nos dois lados dessa equação, vamos cancelá-los. Subtraímos "y²" dos dois lados e vamos multiplicar esse termo. Então aqui é "x² + 2xf + f²", e isto é igual a "4a² + 4a × √ (x - f)² + y²". Vamos multiplicar. "+ x² - 2xf + f²". Vamos ver agora o que podemos cancelar. Tem "x²" nos dois lados, e subtraímos "x²" dos dois lados da equação. Tem um "f²" nos dois lados, vamos cancelá-los então. E vamos ver o que pode fazer para simplificar. Tem um "-2xf" e um "2xf". Vamos somar "2xf" aos dois lados ou passar esse termo para cá. Se somar "2xf" aos dois lados da equação, se somar "2xf" aos dois lados da equação, o que obteremos? Obteremos "4xf". Lembre-se de que apenas passei esse termo para o lado esquerdo, que é igual a "4a² + 4a × √(x - f)² + y²". É fácil se perder em álgebra. Lembre-se que tudo que estamos fazendo é apenas para lembrar que o objetivo desse exercício é simplificar a diferença das distâncias entre esses dois pontos e, depois, ver como ela se relaciona com a equação da própria hipérbole, os "a" e os "b". Vamos pegar esse "4a²" e passar para esse lado. Então obtemos "4xf - 4a² = 4a × √ ..." Vamos apenas multiplicar porque provavelmente vamos ter que fazer isso no final. "x² - 2xf + f² + y²", que é apenas isso multiplicado. Esse é o "y²" aqui. Poderíamos dividir os dois lados disso por 4. Tudo que estou tentando fazer é simplificar ao máximo possível para que isso se torne "xf - a² = a × √ de toda essa coisa: "x² - 2xf + f² + y²". Agora podemos elevar os dois lados dessa equação aqui, e se elevar os dois lados ao quadrado, esse lado fica "x² f² - 2a² xf + a⁴". Isso é esse lado elevado ao quadrado. E é igual a ... Se elevar o lado direito ao quadrado, "a²" vezes, o quadrado de uma raiz quadrada é simplesmente essa expressão. "(x² - 2xf + f² + y²)". Esse é um problema bem complicado. Vamos ver o que dá para fazer agora. Vamos dividir os dois lados da equação por "a²" e aí teremos "x² f²". Realmente estou tentando simplificar o máximo possível. sobre "a²" menos, os "a²" se cancelam, "- 2xf + a⁴". Dividido por "a²" é apenas "a²". Então "a² = x² - 2xf + f² + y²". Até aqui tudo bem. Há algo que pode ser cancelado. Há "-2xf" nos dois lados da equação, então vamos cancelá-los e simplifica a nossa situação um pouquinho. O que podemos fazer é subtrair esse "x²" disto e aí teremos: "x²f² / a² - x²". Vamos também passar esse "y" para esse outro lado da equação. Então "-y²", e foi tudo que eu fiz, só passei para esse lado. Agora vamos passar. Eu estou pulando muitas etapas, mas não quero que demore muito. Vamos pegar esse "a" e colocar nesse lado da equação. Pegamos o "x" e o "y" e subtraímos dos dois lados da equação. Eles terminaram no lado esquerdo. Depois, se subtrair "a²" dos dois lados, esse é um problema cansativo, obtemos "f² - a²". Acho que estamos quase lá, isso pode ser simplificado para... Vamos ver se podemos fatorar o "x²", que se torna "(f² sobre a² - 1) vezes x². Eu vou só fatorar "x²". "-y² = f²", o comprimento focal ao quadrado, - a²". E vejamos que vamos dividir os dois lados da equação por essa expressão. E aí teremos. Isso já deve parecer familiar, né. E teremos: "(f² / a² - 1) vezes x² dividido por (f² - a²) - y² / (f² - a²) = 1". Eu dividi os dois lados por isso, e obtenho 1 nesse lado direito. Vamos ver se eu consigo simplificar. Se eu multiplicar o numerador e o denominador por "a²", desde que multiplique o numerador e o denominador pelo mesmo número, estou simplesmente multiplicando meu por 1, então não estou mudando nada. Fazendo isso, o numerador ficar, se multiplicar ele, se torna "f² - a²". Estou só multiplicado por a². E o denominador fica "a² vezes (f² - a²)". Tudo vezes "x² - (y² / f² - a²) = 1", que se cancela com isto. E obtemos algo que está começando a se parecer com a equação de uma hipérbole. Minha energia está voltando. Parece que consegui ver luz no fim do túnel. Temos agora "x² / a² - y² / f² - a² = 1". Agora isso se parece bastante com a nossa equação original da hipérbole que era "x² / a² - y² / b² = 1". Na verdade, esta é a equação da hipérbole, mas em vez de escrever "b²", como escrevemos, perguntamos basicamente: qual é o lugar geométrico de todos os pontos onde a diferença das distâncias para esses dois focos é igual a "2a"? A gente só pratica um pouco de álgebra. Esse problema foi bem cansativo. Eu estou impressionado por terem aguentado até aqui. No final, obtivemos essa equação que deve ser a equação da hipérbole, e ela é a equação da hipérbole. Ela é esta equação, portanto é o mesmo que isso: "f² - a²". Ou a distância focal ao quadrado "- a² = b². Se somar "a²" aos dois lados, obtemos "f² = b² + a²", ou "a² + b²", que nos diz que o comprimento focal é igual √ "a² + b²". Isso foi o que estávamos tentando descobrir no início. Portanto, espero que estejam convencidos de que o comprimento focal de uma hipérbole é a soma desses dois denominadores, e isso também é verdadeiro se ela for uma hipérbole voltada para cima ou vertical. E se estiver lidando com uma elipse, ela é a diferença entre esses dois: a raiz quadrada da diferença entre esses dois números. Enfim, vou parar por aqui, esse problema foi demais. Preciso de um copo d'água.