Seção cônica a partir de uma equação geral: circunferência e parábola

RKA18MP - Vamos ver se dá para fazer mais desses problemas de identificação de seções cônicas. Então, x² mais y² menos 2x mais 4y é igual a 4. A primeira coisa a fazer é tentar descobrir que tipo de seção cônica vai ser. Se tenho esse termo x², que é meu termo y², e estão do mesmo lado da equação. Os dois têm coeficientes positivos, o que quer dizer que vamos lidar com uma elipse. Nesse caso em particular, os coeficientes são o mesmo número, os dois são +1, então é um círculo. Vamos colocar na forma padrão e tentar desenhar o círculo para completar o quadrado. Assim, a gente vai pegar os termos "x", uma vez que temos (x² - 2x), mais alguma coisa, para completar o quadrado depois, mais, e agora vamos pegar os termos y²: (y² + 4y), mais alguma coisa, é igual a 4. O que temos aqui? Pegamos metade de -2, é -1, elevamos ao quadrado, que vira +1, somo esse 1, não tem nada aqui fora, então realmente só soma 1 ao lado esquerdo dessa equação, e tem que somar 1 do lado direito. Aqui, pegamos metade de 4. Metade 4 é 2, 2² é 4. Coloco 4 aqui, e você tem que somar 4 do lado direito também. Realmente, só somamos o 4 porque não tem nada multiplicando o 4. E, então, se torna: (x - 1)² mais (y + 2)² igual a, 4 + 1 + 4, dá 9. E aqui está. Tem isso na forma padrão de um círculo. Você se lembra que se um círculo tem um centro no zero, a equação geral seria: x² + y² = r². Então, é r², que é o raio ao quadrado, que nos diz que o raio do círculo é 3 e foi apenas deslocado para que sua origem, em vez de ser no (0, 0), seja no ponto (1, -2). A razão pela qual tenho (1, -2) é que tem que pensar no que torna toda essa expressão igual a zero. Nesse caso, foi a origem. Nesse caso, x é igual a 1. E o que torna toda essa expressão igual a zero, neste caso, é y igual a zero. Nesse caso, seu y é igual a -2. Este é nosso centro. Este é o nosso raio, e estamos prontos para traçar esse círculo. Então ele está em, devo traçar um círculo primeiro. Assim está bom, vai ser em (1, -2). Então, (1, -2), portanto vai ser aqui embaixo. Ele vai começar, e este círculo vai sair daqui. O centro vai ser em 1 e 1, 2. Está bem perto do centro. Talvez eu devesse fazer um 2 estar no centro, bem aqui em (1, -2), e seu raio é 3, então essa distância é 3 em qualquer direção. É 3. Perfeito. Esse foi um problema bem simples. Círculos, de alguma forma, são mais simples. E lembre-se que disse que vai ser uma elipse e você diz: "Essa não é a forma padrão para uma elipse". Só como lembrete: se divide os dois lados dessa equação por 9, tem o quê? Tem (x - 1)² sobre 9 mais (y + 2)² sobre 9 que é igual a 1. Depois vê que os eixos horizontais, penso, o diâmetro horizontal, que vai ser 3, ou o raio horizontal, que vai ser 3, e o raio vertical, que também vai ser 3, porque o raio nunca muda nessa elipse que, na verdade, é um círculo. Vamos fazer mais um só para ter certeza de que você sabe bem do que estamos falando Temos 2x² mais "y" mais 12x mais 16 igual a zero. Vamos olhar para os termos x² e y². Zero é um termo ao quadrado, mas não vejo um termo y², por isso é que fica um pouco enigmático. Isso vai nos levar à quarta das nossas seções cônicas de que falei no primeiro vídeo, mas realmente não abordamos ainda. Esta é uma parábola. Como eu sei disso? Vou avançar, nos próximos vídeos, em todas as diferentes formas que uma parábola tem e em como todos os pontos são equidistantes entre um ponto, e uma reta e tudo mais. Mas, só de forma muito simples, você reconhece que é parábola porque "y" é igual à x². Essa parábola se parece um pouco com isso, sendo que seu ponto mínimo, ou o seu vértice, está na origem. Ou, se tiver algo parecido com uma parábola, "x" é igual a y², que se parece com isto, em que esta é uma versão daquela de lado. Mais uma vez, seu vértice está na origem. E, só por curiosidade, sabemos que é uma parábola porque tem um "y" e tem um x², certo? São graus diferentes. Não há um termo de segundo grau para o "y". Apenas para colocar num formato que seja familiar, vamos subtrair tudo menos o "y" do lado esquerdo. Então, tem que... "y" é igual a -2x² - 12x - 16. Esse é o formato tradicional ao qual está familiarizado. Provavelmente, nem está acostumado a encontrar os zeros dessa parábola, e poderia fazer agora, poderia falar: "Tá. Quando a equação intercepta o eixo "x" intercepta o eixo "x", é quando o "y" é igual a zero. Então, isto é igual a zero". Você tem -2x² - 12x - 16 e isso é diferente do que fazemos normalmente porque, normalmente, eu iria direto completar o quadrado, mas só quero descobrir os zeros desta parábola primeiro. Então, esse zero é igual a -2 vezes, fatorando -2, você tem (x² + 6 x + 8). O zero é igual a -2 vezes (x + 2) vezes (x + 4). Fiz a fatoração. Assim, para tudo ser zero, tanto isso é zero quanto isto é zero. E tanto "x + 2" é igual a zero quanto "x + 4" é igual a zero. "x" é igual a -2 e "x" é igual a -4. Esses são os dois zeros dessa parábola. Imediatamente, sabemos uma coisa sobre essa parábola e, provavelmente, já deve ter feito nas aulas de álgebra. Se fosse desenhar o eixo "x", ele interceptaria o eixo "x" em -2, e, 3, e -4. E isso é o que sabemos sobre ela agora. Então, vamos ver se dá para usar algumas das nossas habilidades de completar o quadrado com as seções cônicas que fizemos até agora para ter um pouco mais de informação sobre essa parábola. Vamos tentar completar o quadrado com isso. Portanto, é: "y" é igual a... e é com esse que eu estou trabalhando agora, Vou pegar esses termos "x" isolados e fazer a fatoração do -2. -2 vezes (x² + 6x) e vou acrescentar algo mais. Para isso se tornar um quadrado perfeito, tenho que pegar metade disso e metade de 6, metade de 6 é 3. 3² é 9. E, se eu somar 9 do lado direito da equação, lembre-se: não somei apenas o 9, estou somando 9 vezes -2, então se subtrair esse -18, se eu subtrair 18 do lado direito, tenho que fazer também do lado esquerdo. Agora, minha equação se torna y - 18 é igual a -2 vezes, o que é isso? É (x + 3)² - 16. E vamos apenas obter de uma forma que faça com que comecemos a achar parecido com algo de nossas seções cônicas. Vamos adicionar 16 aos dois lados. Se somar 16 de cada lado, y - 18 + 16 vai ser (y - 2), vou colocar parêntesis aqui em volta, é igual a -2 vezes (x + 3)². E você deve se perguntar o porquê de colocar isso dessa forma. Fiz assim porque vai nos ajudar, e é como o mesmo padrão que vê em todas as outras seções cônicas. Assim, como se eu fosse te dizer para traçar no gráfico, "y" é igual a x² y = x² iria se parecer com algo como, deixa eu desenhar a elipse e desenhar os eixos aqui... y = x² se parece com isso, se parece com uma parábola. Digo que é uma parábola e com vértice no zero ou em seu ponto mínimo. E o que é o vértice? O ponto mínimo ou ponto máximo da parábola. Vamos falar mais sobre isso, e você vai aprender muito mais a respeito quando for para os cálculos, mas eu acho que já pode reconhecer a parte inferior do U, o topo do U. Se eu fosse desenhar "y" é igual a -x², poderia traçar alguns pontos, mas se parece com algo assim. Se eu fosse tentar traçar "y" é igual a 2x², seria exatamente como "y" é igual à x², mas iria subir duas vezes mais rápido, se pareceria com algo assim: o vértice na origem. Finalmente, se eu fosse desenhar "y" é igual a -2x², iria se parecer com algo assim. Iria abrir para baixo e descer duas vezes mais rápido. Agora, essa equação com a qual acabamos, é a mesma coisa que "y" é igual a -2x², tem a mesma forma geral, mas, em vez de seu vértice, ou seu centro, ou seu ponto de início, ou como queira chamar para estar na origem, está alterado agora. Você diz que o valor de "y" faz com que esse termo seja zero. Bom, "y" é igual a 2 e, nesse caso, que valor de y torna isso zero? É zero porque estávamos na origem e, aqui, que valor de "x" torna isso zero? É "x igual a -3. Então, nos dá a informação sobre onde está o vértice, e está em "x" é igual a -3 e "y" é igual a 2. Está em "x" é igual a 1, 2, 3 e "y" é igual a 1, 2. Já conhecemos esses dois pontos porque já descobrimos que é zero, mas mesmo que a gente não soubesse daqueles dois pontos, a gente sabe que esta tem o mesmo formato quando "y" é igual a -2x², então vai se abrir para baixo, assim, e um pouco mais rápido, que "y" é igual a -x², então vai se parecer com isto. A gente sabe que vai passar por esse ponto, e sabemos que vai passar por esse ponto. Então, passamos por cada seção cônica e, nos próximos dois vídeos, vou aprofundar um pouco mais na teoria por trás das seções cônicas e como elas surgiram e tudo mais. Mas, acho que você está pronto para enfrentar o que muitos devem ver na sua prova de álgebra. Até o próximo vídeo.