Seção cônica a partir de uma equação geral: hipérbole

RKA18MP - Vamos fazer outro exercício de identificação de seção cônica. Tenho 4y ao quadrado menos 50x é igual a 25x ao quadrado mais 16y mais 109. A primeira coisa é agrupar todos os termos "x" e "y" em um lado da equação e deixar todas as constantes do outro lado. Assim, no lado esquerdo ponho 4y², 4y², e, na verdade, eu vou agrupar também todos os termos "x" e "y" nessa etapa. 4y², vamos passar esse 16y para o lado esquerdo. Então, se subtraio 16y dos dois lados da equação, tenho -16y, e -16y no lado esquerdo. Obviamente, ele vai desaparecer do lado direito. A seguir, subtraio 25x² dos dois lados dessa equação. Temos -25x² - 50x, que é isso aqui, e vou deixar esse 109 do lado direito. É igual a 109. Agora que tenho os "x" e "y" no mesmo lado da equação, a gente sabe que tipo de... Sabemos a direção geral que devemos adotar porque eles estão do mesmo lado, eles têm coeficiente diferentes, e um é positivo, o outro é negativo. Isso nos diz que estamos lidando com uma hipérbole. Vamos completar o quadrado e colocar na forma padrão. A forma mais fácil de completar o quadrado é ter um coeficiente de 1 nos termos do y² e do x². Vamos fatorar um 4, nesse caso. Temos 4(y² - 4y) e vou somar algo depois, quando eu completar o quadrado, -25 vezes x² mais, -50 dividido por -25 é 2, +2 e, aqui, vou somar alguma coisa depois, é igual a 109. As coisas que vamos somar vão ser aquelas que completarão o quadrado e que devem tornar essas expressões um quadrado perfeito. Então, se eu pegar isto, teremos um -4 aqui. Vou pegar metade desse número, estou apenas completando o quadrados e te aconselho a assistir ao vídeo sobre como completar o quadrado, em que explico porque funciona, mas acho que tem um -4. Pego metade disso, e é -2. Depois, -2² é +4. Não posso fazer uma coisa de um lado da equação sem fazer a mesma coisa do outro e não somei um 4 ao lado esquerdo da equação. Na verdade, somei um "4 vezes 4", certo? Porque tem esse 4 multiplicando aqui na frente, então somei 16 ao lado esquerdo da equação, portanto também tenho que somar 16 ao lado direito. Talvez possa esclarecer mais as coisas, não é? Quando fatoramos, ele se torna um 4 e teremos somado um 16 aqui também. Da mesma forma, se pegar metade deste número aqui, metade de 2 é 1, 1² é 1. A gente soma esse 1 ao lado esquerdo da equação, somamos 1 vezes -25, então precisa colocar -25 aqui. E, da mesma forma, teria sido o mesmo que somar -25 aqui em cima, e colocamos -25 aqui. O que temos agora? Os termos "y" tornam-se 4 vezes (y - 2)². (y - 2)². Talvez seja bom rever a fatoração de um polinômio, se achar esse passo um pouco confuso. -25 vezes (x + 1)². E é isso aqui, logo aqui. (x + 1)² é igual a, vamos ver, 109 + 16 - 25 é igual a 100. Estamos quase lá, queremos um 1 aqui. Vamos dividir os dois lados dessa equação por 100. Teremos (y - 2)², 4 dividido por 100 é igual a 1/25, então fica sobre 25, menos, 25/100 é igual a 1/4, então fica: (x + 1)² sobre 4 é igual a 1. E, pronto, terminamos! Tem isso na forma padrão e, sim, realmente tem uma hipérbole. Vamos traçar essa hipérbole num gráfico. A primeira coisa que sabemos é onde está o centro dessa hipérbole. O centro desta hipérbole está no ponto x que é igual a -1, e x igual a -1, y igual a 2. Vamos descobrir agora assíntotas dessa hipérbole. Se isto fosse, essa é a maneira como eu sempre faço porque sempre esqueço da fórmula. Se estivesse centrado em zero, teria essa forma: y² sobre 25 - x² sobre 4 é igual a 1. Faça para descobrir quais seriam as assíntotas se o nosso centro fosse zero, porque é muito mais fácil lidar com essas equações do que lidar com essas. Poderia multiplicar os dois lados por 100, estamos quase que desfazendo o que acabamos de fazer. Na verdade, vamos multiplicar os dois lados por 25. E tem y² menos 25 sobre 4, vezes x² é igual a 25, vou passar para cá. E, se eu somar 25x²/4 dos dois lados, tenho y² é igual a 25x²/4 + 25. Então, y é igual a + ou - a raiz quadrada de 25x² sobre 4 + 25. E, como sempre, as assíntotas, a hipérbole nunca será igual às assíntotas ou interceptará as assíntotas, mas é do que o gráfico aproxima quando "x" se aproxima do infinito positivo ou negativo. E, à medida que "x" se aproxima do infinito positivo e negativo, aprenderão sobre o conceito de limite, mas acho que estão entendendo porque é a ideia de uma assíntota, que, à medida que "x" aumenta, aproximando-se desta linha, então, à medida que "x" se aproxima do infinito positivo ou negativo, como já fizemos em vídeos anteriores, esse termo começa a perder importância porque esse termo fica com o valor muito alto. Então, "y" é aproximadamente igual a + ou - a raiz quadrada desse termo. Agora, a raiz quadrada desse termo é 5x/2. Estas seriam nossas assíntotas se o nosso centro fosse zero, mas, obviamente, nosso centro está em menos (-1, 2), e vamos traçar no gráfico. E, aí, vamos descobrir se é um gráfico com a concavidade voltada para cima ou para baixo. Nosso centro está em (-1, 2). Este é meu eixo "y", e este é meu eixo "x". Nosso centro é em (-1, 2). Este é o centro. E estas seriam as duas linhas das assíntotas se o nosso centro fosse em zero, mas isso nos diz agora a inclinação das duas assíntotas. As assíntotas vão se interceptar no centro da nossa hipérbole, por assim dizer. Estas são as inclinações das duas assíntotas e uma é 5/2, significa que subimos 2, então 1, 2. Em "x", subimos 5, portanto 1, 2, 3, 4, 5. Vamos chegar aqui em cima. Agora dá para traçar essa reta, só preciso de dois pontos para uma reta, e esta seria o formato desta reta. A outra assíntota é -5/2. Para cada 2 que nos movemos para a direita, descemos 5, então 1, 2. 1, 2, 3, 4, 5. Vamos chegar logo aqui. Assim esta reta teria este formato. Muito bem. Portanto, essas são as duas assíntotas e seguem nessas direções. Dá para pensar de duas formas. Poderia dizer: "Tá, se olhar para..." Na verdade, vamos olhar para esta expressão original. Se seu centro fosse zero, "x" poderia ser igual a zero? Claro que x poderia ser igual a zero. Se x for zero, então y²/25 é igual a 1, y² é igual a 25, o "y" seria + ou - 5. Nesse caso, esse termo poderia ser igual a zero, portanto a gente pode falar que x pode ser igual a -1. Se x for igual a -1, então (y - 2)²/25 será igual, vamos fazer isso, vamos estabelecer que se "x" for igual a -1, quanto será esta expressão? Eu não quero perder isso, então vou escrever aqui embaixo. Temos (y - 2)² sobre 25, que se torna zero, menos zero é igual a 1. Tem (y - 2)² sobre 25 é igual a 1. (y - 2)² é igual a 25. Vamos multiplicar os dois lados por 25, e y - 2 é igual a + ou -, estou apenas tirando a raiz quadrada dos dois lados, 5. y - 2 é igual a 5 positivo, ou y - 2 é igual a -5. Somamos 2 aos dois lados disso e obtemos que "y" é igual a 7. Somando 2 aos dois lados disso, e obtemos que "y" igual a -3. Sabemos que os pontos (-1, 7) e (-1, -3), os dois estão neste gráfico. Então, -1 está aqui, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (-1, 7). E -1, 1, 2, 3. Os dois estão nesse gráfico. Isso nos diz que, como estamos aqui dentro, esta é um tipo de assíntota vertical. E outra forma de saber é que vocês vêem que o termo y² é positivo. A outra forma de pensar é quando tiram a raiz quadrada positiva. Quando tiram a raiz quadrada positiva, sempre estarão um pouco acima da assíntota. Essa é a outra forma de pensar, que a gente sempre estará um pouco... E esta é a raiz quadrada positiva. A raiz quadrada positiva é a reta superior. Então sempre estaremos um pouco acima da assíntota. Esta é a assíntota, mas estaremos sempre um pouco acima dela. Obviamente, à medida que esse número aumenta, isso passa a ter cada vez menos importância de forma que o gráfico terá esse formato. Ele vai abaixar e depois subir, e nunca tocará a assíntota, mas ficará próximo dela e chegará bem perto da assíntota. Depois, se afastará nessa direção. Enfim, espero que tenha achado isso útil, esse foi um problema difícil, então ele deve ter sido instrutivo.