Representação gráfica de hipérboles (exemplo antigo)

RKA - No último vídeo sobre hipérboles não tive a chance de dar alguns exemplos concretos. Então, vou fazer agora. Digamos que tenho a hipérbole "y²" sobre 4 menos "x²" sobre... sei lá, deixa eu achar um bom número... "x²" sobre 9 é igual a 1. A primeira coisa a descobrir sobre essa hipérbole é quais são as suas assíntotas. Mais uma vez, sempre me esqueço das fórmulas. Vou tentar resolver o "y" e ver o que acontece quando "x" se aproxima do mais ou menos infinito. Para resolver "y", dá para adicionar "x²/9" aos dois lados. "y²/4 = (x²/9) + 1". Posso multiplicar 4 dos dois lados e obtemos "y² = (4/9)‧x² + 4". Distribuo o 4. Calculo a raiz quadrada positiva e negativa dos dois lados; e "y" é igual a mais ou menos a raiz quadrada de "(4/9)‧x² + 4". Não é possível simplificar ainda mais, mas o que dá para pensar é nessa aproximação à medida que "x" se aproxima do mais ou menos infinito. À medida que "x" se aproxima do mais ou menos infinito, isto é aproximadamente igual a quê? Do que isso se aproxima? Do que o gráfico se aproxima mais? "y" é aproximadamente igual à raiz quadrada desse termo, porque isso se torna imenso em relação a esse termo. Esse é cada vez menos importante. Por isso, nos aproximamos cada vez mais das assíntotas, porque, quando esse número é... digamos, 1 trilhão ou 1 "glanverst", então, esse número é quase insignificante. Vocês calculam a raiz quadrada e basta calcular a raiz quadrada disso e estariam apenas um pouco acima do gráfico porque tem esse +4 adicional. À medida que se aproximam do mais ou menos infinito, esta equação é aproximadamente igual a mais ou menos a raiz quadrada de "(4/9)x²". "y" seria aproximadamente igual a mais ou menos a raiz quadrada... (a gente pode calcular a raiz quadrada disso)... mais ou menos a raiz quadrada de 4/9. É 2/3, certo? A raiz quadrada de "4/9"... vezes "x". E essas são as assíntotas; essas duas retas aqui. Aqui "y = (2/3)x"; e aqui "y = (-2/3)x". Vamos desenhar essas duas retas. Muito bem! Esse será meu eixo "y"; e esse, o eixo "x" (vou trocar de cor para que as coisas fiquem mais interessantes). Vamos desenhar a primeira: "y = (2/3)x". A gente sobe 2 para cada 3 que avançamos. Vamos lá! Aqui é um, dois, três. Um, dois. Esse seria um ponto na reta. Vou traçar a reta agora... na verdade, eu vou cruzar a origem. Não, não, não! Não está bom! Vou traçar assim. E, dessa forma, eu posso assegurar que ela cruze a origem e ela vai cruzar assim. Agora, posso ir daqui e traçar assim e essa é uma assíntota. A outra assíntota é "y" será igual a "-(2/3)x"... porque é "±(2/3)x"... "-(2/3)x"... e baixamos 2 para cada 3 que avançamos. Esse ponto estará... se eu me mover um, dois... baixamos 2 para cada 3 que avançamos. Chegamos ao 3. Se eu traçar essa assíntota, ela vai se parecer com isso. Vou traçar agora daqui, e agora daqui; seguindo para lá e traçamos as nossas assíntotas. A pergunta, agora, é se ela vai se abrir para a esquerda e para a direita ou para cima e para baixo. Vamos pensar de duas formas. Desse jeito pode ser mais intuitivo. "x" pode... o que acontece quando "x = 0"? Quando "x = 0", desaparece e ficamos apenas com "y²/4 = 1", ou "y² = 4", ou "y = ±2". Portanto, a gente sabe que o ponto zero... os pontos (0, ±2) estão neste gráfico. "x" pode ser igual a zero, então, (0, ±2). (0, +2) é esse ponto aqui, e (0, -2) é esse ponto aqui. Por si só, essa é uma pista suficiente para saber que ela se abre para baixo e aqui para cima, porque é uma hipérbole (nunca cruza as assíntotas). Não é possível ela ir para cá e cruzar essa assíntota. Então, a gente já sabe que o gráfico dessa hipérbole... (e dá para tentar outros pontos se quiser)... vai ter mais ou menos esse formato. Ela vai por aqui... (não, não quero que ela toque a assíntota)... ela vai estar bem próxima, mas não vai tocar a assíntota. Ela vai chegar bem pertinho, mas nunca vai tocar a assíntota. Desse lado vai chegar bem perto, mas nunca vai tocar. Eu não quero que ela toque a assíntota. Na parte superior, ela vai fazer o mesmo e vai chegar bem pertinho à medida que se aproxima do infinito, e ela nunca vai tocar a assíntota. À medida que chegar bem perto, ela ficará infinitamente próxima, mas nunca a tocará. Esse é o formato que essa parábola e essa hipérbole terá. Fiz apenas tentando ver se "x" poderia ser igual a zero. Gostaria que tentasse ver o que acontece quando "y = 0". Vocês verão que não tem nenhuma solução. E faz sentido porque essa hipérbole nunca vai cruzar "y = 0". Ela nunca vai cruzar o eixo "x"; e também deveria ser intuitivo porque, como vimos, quando a gente faz essa aproximação, à medida que "x" se aproxima do mais ou menos infinito, vimos que tinha sempre esse +4 aqui. A gente disse: ah! À medida que "x" aumenta muito, ou fica bem negativo, e começa a ter cada vez menos importância... mas sempre seremos ligeiramente maiores do que esse número. Especialmente no quadrante positivo, tá? A gente sempre vai ser... no quadrante positivo, será sempre ligeiramente maior do que a assíntota e, até mesmo quando calculamos a raiz quadrada positiva... acho que essa é a melhor forma de dizer isso... quando calculamos a raiz quadrada positiva, sempre seremos maiores do que cada uma das assíntotas. E, da mesma forma, quando calculamos a raiz quadrada negativa, sempre seremos um pouco menores do que cada uma das assíntotas, porque esse número será um pouco maior do que esse número. Quando calculamos a raiz quadrada negativa, iremos ficar um pouco menores e é por isso que estamos um pouco abaixo. Não sei qual é mais intuitivo para você. Talvez tentar isso quando "x" for igual a zero e quando "y" for igual a zero, e ver que pontos obtém... e, ah, tem um tipo de hipérbole vertical e não uma hipérbole horizontal. Vamos ver se eu tenho tempo para... Ah, eu vou deixar esse vídeo assim, tá? Vou fazer outro vídeo onde eu vou deslocar a hipérbole. E deslocar a hipérbole não é diferente de deslocar uma elipse, um círculo... tem apenas o "y" menos alguma coisa ao quadrado e "x" mais alguma coisa ou "x" menos alguma coisa ao quadrado. E dirá onde deve deslocar a origem. Essa hipérbole está claramente centrada na origem. Até o próximo vídeo. Fui!